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-====== Matériaux hyperélastiques ======+====== Hyperelastic materials ====== 
 + 
 +===== NeoHookeanHyperMaterial ===== 
 + 
 +=== Description === 
 + 
 +Neo-Hookean hyperelastic law, using a ''Cauchy'' stress tensor $\boldsymbol{\sigma}$, stress in the current configuration. 
 + 
 +(Quasi-)incompressibility is treated by a volumetric/deviatoric multiplicative split of the deformation gradient, i.e.  $\bar{\mathbf{F}} = J^{-1/3}\mathbf{F}$. Hence the deviatoric potential is based on reduced invariants of $\bar{\mathbf{b}} =\bar{\mathbf{F}}\bar{\mathbf{F}}^T $. 
 + 
 +$$ 
 + W\left(I_1,I_2,J\right)  =  \bar{W}\left(\bar{I_1},\bar{I_2}\right) + K f\left(J\right) = C_1\left(\bar{I_1} - 3\right) + \frac{k_0}{2}\left[ \left(J-1\right)^2 + \ln^2 J\right] 
 +$$ 
 + 
 + 
 + 
 +$$ 
 +U^{dev}=\dfrac{g_0}{2} \left[\text{tr}\right(\hat{\mathbf{C}}\left)-3\right] 
 +$$ 
 + 
 +=== Parameters === 
 +^   Name                                                  ^  Metafor Code  ^ 
 +| Density                                                 |''MASS_DENSITY''| 
 +| NeoHookean coefficient ($C_1$)                          | ''RUBBER_C1''  |  
 +| Initial bulk modulus ($k_0$)                            |''RUBBER_PENAL''|  
 + 
 +===== NeoHookeanHyperMaterial ===== 
 + 
 +=== Description === 
 + 
 +Mooney-Rivlin hyperelastic law, using a ''Cauchy'' stress tensor $\boldsymbol{\sigma}$, stress in the current configuration. 
 + 
 +(Quasi-)incompressibility is treated by a volumetric/deviatoric multiplicative split of the deformation gradient, i.e.  $\bar{\mathbf{F}} = J^{-1/3}\mathbf{F}$. Hence the deviatoric potential is based on reduced invariants of $\bar{\mathbf{b}} =\bar{\mathbf{F}}\bar{\mathbf{F}}^T $. 
 + 
 +$$ 
 + W\left(I_1,I_2,J\right)  =  \bar{W}\left(\bar{I_1},\bar{I_2}\right) + K f\left(J\right) = C_1\left(\bar{I_1} - 3\right) + C_2\left(\bar{I_2} - 3\right)+ \frac{k_0}{2}\left[ \left(J-1\right)^2 + \ln^2 J\right] 
 +$$ 
 + 
 + 
 + 
 +$$ 
 +U^{dev}=\dfrac{g_0}{2} \left[\text{tr}\right(\hat{\mathbf{C}}\left)-3\right] 
 +$$ 
 + 
 +=== Parameters === 
 +^   Name                                                  ^  Metafor Code  ^ 
 +| Density                                                 |''MASS_DENSITY''| 
 +| Mooney-Rivlin coefficient ($C_1$)                          | ''RUBBER_C1''  |  
 +| Mooney-Rivlin coefficient ($C_2$)                          | ''RUBBER_C2''  |  
 +| Initial bulk modulus ($k_0$)                            |''RUBBER_PENAL''|  
  
 ===== NeoHookeanHyperPk2Material ===== ===== NeoHookeanHyperPk2Material =====
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 === Description === === Description ===
  
-Loi hyperélastique Neo Hookienne utilisant un tenseur ''Pk2''. +Neo-Hookean hyperelastic law, using a ''PK2'' tensor.
  
-Le potentiel volumique est calculé à partir de la compression moyenne de l'élément ($\theta$): +The potential per unit volume is computed based on the average compressibility over the element, ($\theta$): 
  
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-Le potentiel déviatorique est calculé à partir du tenseur de Cauchy de déterminant unitaire:+The deviatoric potential is computed based on a Cauchy tensor with a unit determinant:
  
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 $$ $$
  
-=== Paramètres ===+=== Parameters ===
  
-^   Nom                                                   ^    Code Metafor    ^   +^   Name                                                  ^     Metafor Code   ^ 
-| Densité                                                 |  ''MASS_DENSITY''  | +| Density                                                 |  ''MASS_DENSITY''  | 
-| Module de compressibilité initial ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''    | +| Initial bulk modulus ($k_0$)                            |    ''HYPER_K0''    | 
-| Module de cisaillement initial ($g_0$)     |    ''HYPER_G0''    | +| Initial shear modulus ($g_0$)                           |    ''HYPER_G0''    |
  
 ===== LogarihtmicHyperPk2Material ===== ===== LogarihtmicHyperPk2Material =====
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 === Description === === Description ===
  
-Loi hyperélasyique Logarithmique utilisant un tenseur Pk2. +Logarithmic hyperelastic law, using a ''PK2'' tensor.
  
-Le potentiel volumique est calculé à partir de la compression moyenne de l'élément (q) : +The potential per unit volume is computed based on the average compressibility of the element, ($q$): 
  
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-Le potentiel déviatorique est calculé à partir du tenseur de Cauchy de déterminant unitaire :+The deviatoric potential is computed based on a Cauchy tensor with a unit determinant:
  
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-=== Paramètres ===+=== Parameters ===
  
-^   Nom                                                   ^    Code Metafor    ^   +^   Name                                             ^     Metafor Code     ^ 
-| Densité                                                 |  ''MASS_DENSITY''  | +| Density                                                 |  ''MASS_DENSITY''  | 
-| Module de compressibilité initial ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''    | +| Initial bulk modulus ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''    | 
-| Module de cisaillement initial ($g_0$)     |    ''HYPER_G0''    | +| Initial shear modulus ($g_0$)     |    ''HYPER_G0''    | 
  
 ===== EvpIsoHLogarithmicHyperPk2Material ===== ===== EvpIsoHLogarithmicHyperPk2Material =====
  
 === Description === === Description ===
 +Logarithmic hyperelastic law, using a ''PK2'' tensor.
  
-Loi hyperélastique Logarithmique utilisant un tenseur ''Pk2''.  +The potential per unit volume is computed based on the average compressibility of the element, ($\theta$): 
- +
-Le potentiel volumique est calculé à partir de la compression moyenne de l'élément ($\theta$) : +
  
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-Le potentiel déviatorique est calculé à partir du tenseur de Cauchy élastique de déterminant unitaire :+The deviatoric potential is computed based on a Cauchy tensor with a unit determinant:
  
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-=== Paramètres === +=== Parameters ===
- +
-^   Nom                                                   ^    Code Metafor    ^   Type de dépendance  ^ +
-| Densité                                                 |  ''MASS_DENSITY''  |    -     | +
-| Module de compressibilité initial ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''    |    -     | +
-| Module de cisaillement initial ($g_0$)     |    ''HYPER_G0''    |    -     |  +
-| Numéro de la loi définissant la contrainte limite $\sigma_{yield}$ |    ''YIELD_NUM''   |    -     | +
- +
  
 +^   Name                                                                     ^     Metafor Code     ^  Dependency ^
 +| Density                                                                    |  ''MASS_DENSITY''  |    -     |
 +| Initial bulk modulus ($k_0$)                                               |    ''HYPER_K0''    |    -     |
 +| Initial shear modulus ($g_0$)                                              |    ''HYPER_G0''    |    -     | 
 +| Number of the material law which defines the yield stress $\sigma_{yield}$ |    ''YIELD_NUM''   |    -     |
  
 ===== FunctionBasedHyperPk2Material ===== ===== FunctionBasedHyperPk2Material =====
Line 84: Line 130:
 === Description === === Description ===
  
-Loi hyperélastique utilisant un tenseur ''Pk2'', dont la fonction appliquée sur la décomposition spectrale des déformation est une loi utilisateur. +Hyperelastic law, using a ''PK2'' tensor. Its function applied on the strain spectral decomposition is a user law.
  
-Le potentiel volumique est calculé à partir de la compression moyenne de l'élément ($\theta$) : +The potential per unit volume is computed based on the average compressibility of the element, ($\theta$): 
  
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Line 92: Line 138:
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-Le potentiel déviatorique est calculé à partir d'une fonction utilisateur de type hyperélastique définie dans [[doc:user:elements:volumes:hyper_viscoelastic]].+The deviatoric potential is computed based on a hyperelastic user function defined in [[doc:user:elements:volumes:hyper_viscoelastic]].
  
-=== Paramètres ===+=== Parameters ===
  
-^   Nom                                                   ^    Code Metafor             ^   Type de dépendance  ^ +^   Name                                                  ^     Metafor Code     ^  Dependency ^ 
-| Densité                                                 |  ''MASS_DENSITY''           |    -     | +| Density                                                 |  ''MASS_DENSITY''           |    -     | 
-| Module de compressibilité initial ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''             |    -     | +| Initial bulk modulus ($k_0$)                            |    ''HYPER_K0''             |    -     | 
-| Numéro de la loi hyperélastique                         |    ''HYPER_FUNCTION_NO''    |    -     | +| Number of the hyperelastic law                          |    ''HYPER_FUNCTION_NO''    |    -     | 
  
  
Line 106: Line 152:
 === Description === === Description ===
  
-Loi viscoélastique à base hyperélastique utilisant un tenseur ''Pk2''. +Viscoelastic hyperelastic law, using a ''PK2'' tensor. The law includes a main branch (spring and dashpot in parallel) and one or several Maxwell branches (spring and dashpot in series).
-La loi comporte une branche principale (ressort et dashpot en parallèle) et 1 ou plusieurs branches de Maxwell (ressort et dashpot en série).+
  
-Chaque branche se comporte selon une loi viscoélastique entrée par l'utilisateur.+Each branch has its behavior corresponding to a viscoelastic law, supplied by the user.
  
-Le potentiel volumique est calculé à partir de la compression moyenne de l'élément ($\theta$) : +The potential per unit volume is computed based on the average compressibility of the element, ($\theta$): 
  
 $$ $$
Line 117: Line 162:
 $$ $$
  
-Le potentiel déviatorique est calculé à partir des lois visco-élastiques :+The deviatoric potential is computed based on the viscoelastic laws :
  
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Line 123: Line 168:
 $$ $$
  
-Le potentiel de dissipation s'écrit :+The dissipation potential is written as:
  
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Line 129: Line 174:
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-avec +where
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 \Delta\hat{C} = {\hat{F}^n}^{-T} \hat{C}^{n+1} {\hat{F}^n}^{-1} \Delta\hat{C} = {\hat{F}^n}^{-T} \hat{C}^{n+1} {\hat{F}^n}^{-1}
 $$ $$
-et+
 $$ $$
 \Delta C^{\text{vis}} = {{F^{\text{vis}}}^n}^{-T} {C^{\text{vis}}}^{n+1} {{F^{\text{vis}}}^n}^{-1} \Delta C^{\text{vis}} = {{F^{\text{vis}}}^n}^{-T} {C^{\text{vis}}}^{n+1} {{F^{\text{vis}}}^n}^{-1}
 $$ $$
  
-Les potentiels $ U^{dev}_{\text{main,elastic}},~~U^{dev}_{\text{Maxwell,elastic}},~~\phi^{dev}_{\text{main,viscous}},~~\phi^{dev}_{\text{Maxwell,viscous}} $ sont les fonctions de type hyperélastique définies dans [[doc:user:elements:volumes:hyper_viscoelastic]].+The potentials $ U^{dev}_{\text{main,elastic}},~~U^{dev}_{\text{Maxwell,elastic}},~~\phi^{dev}_{\text{main,viscous}},~~\phi^{dev}_{\text{Maxwell,viscous}} $ are hyperelastic functions defined in [[doc:user:elements:volumes:hyper_viscoelastic]].
  
-=== Paramètres ===+=== Parameters ===
  
-^   Nom                                                   ^    Code Metafor             ^   Type de dépendance  ^ +^   Name                                             ^     Metafor Code     ^  Dependency ^ 
-| Densité                                                 |    ''MASS_DENSITY''         |    -     | +| Density                                                 |    ''MASS_DENSITY''         |    -     | 
-| Module de compressibilité initial ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''             |    -     | +| Initial bulk modulus ($k_0$)  |    ''HYPER_K0''             |    -     | 
-| Numéro de la loi viscoélastique principale              |    ''MAIN_FUNCTION_NO''     |    -     |  +| Number of the main viscoelastic law              |    ''MAIN_FUNCTION_NO''     |    -     |  
-| Numéro de la loi viscoélastique de Maxwell numéro 1     |    ''MAXWELL_FUNCTION_NO1'' |    -     | +| Number of the first Maxwell viscoelastic law      |    ''MAXWELL_FUNCTION_NO1'' |    -     | 
-| Numéro de la loi viscoélastique de Maxwell numéro 2 (facultatif)    |    ''MAXWELL_FUNCTION_NO2'' |    -     | +| Number of the second Maxwell viscoelastic law (optional)    |    ''MAXWELL_FUNCTION_NO2'' |    -     | 
-| Numéro de la loi viscoélastique de Maxwell numéro i (facultatif)    |    ''MAXWELL_FUNCTION_NOI'' |    -     |+| Number of the third Maxwell viscoelastic law (optional)    |    ''MAXWELL_FUNCTION_NOI'' |    -     |
  
doc/user/elements/volumes/hyper_materials.txt · Last modified: 2024/05/02 11:15 by radermecker
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