This is an old revision of the document!
Table of Contents
Yield Stress
La classe YieldStress
gère la contrainte limite du critère de plasticité.
Qu'elle soit plastique (écrouissage isotrope), visco-plastique (additive : Perzyna, multiplicative : Cowper-Symonds ou non naturellement décomposable : ZerilliArmstrong, JohnsonCook, …).
$$ \sigma_{yield} = \sigma_{yield} (\bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize, ...) $$
Lois implémentées dans Metafor.
IsotropicHardening
Afin de simplifier 80% les tests, les classes IsotropicHardening
(Isotropic hardening) sont des (dérivent de) YieldStress
.
$$ \sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) $$
L'écrouissage isotrope est donc référencié dans le matériau directement comme YieldStress
GsIsoHYieldStress
Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope : $$ \sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + \sigma_{grainSize}( \bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize ) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
Numéro de la loi d'écrouissage isotrope | IH_NUM | |
Numéro de la loi d'évolution de la taille de grain | GS_NUM |
PerzynaYieldStress
Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope additionné d'une contrainte visco-plastique de Perzyna : $$ \sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + K (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp})^M \left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^N $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
Numéro de la loi d'écrouissage isotrope | IH_NUM | |
$K $ | PERZYNA_K | TM/TO |
$M $ | PERZYNA_M | TM/TO |
$N $ | PERZYNA_N | TM/TO |
GsPerzynaYieldStress
Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope additionné d'une contrainte visco-plastique de Perzyna et d'une contrainte “taille de grain”: $$ \sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + K (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp})^M \left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^N + \sigma_{grainSize}( \bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize ) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
Numéro de la loi d'écrouissage isotrope | IH_NUM | |
Numéro de la loi d'évolution de la taille de grain | GS_NUM | |
$K $ | PERZYNA_K | TM/TO |
$M $ | PERZYNA_M | TM/TO |
$N $ | PERZYNA_N | TM/TO |
JohnsonCookYieldStress
Loi visco-plastique de Johnson-Cook :
$$\sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+C\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)+C_2\left(\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)\right)^2\right) \left( 1- \left( \dfrac{T-T_{room}}{T_{melt}-T_{room}} \right)^m \right) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$A $ | JC_A | TM/TO |
$B $ | JC_B | TM/TO |
$n $ | JC_N | TM/TO |
$m $ | JC_M | TM/TO |
Température de référence $T_{room}$ | JC_TROOM | TM/TO |
Température de fusion $T_{melt}$ | JC_TMELT | TM/TO |
$C $ | JC_C | TM/TO |
$C_2 $ | JC_C2 | TM/TO |
$\dot{\varepsilon}_0$ | JC_EPSP0 | TM/TO |
JohnsonCookMecYieldStress
Version “isotherme” de la loi visco-plastique de Johnson-Cook :
$$ \sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+C\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)+C_2\left(\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)\right)^2\right) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$A $ | JC_A | TM/TO |
$B $ | JC_B | TM/TO |
$n $ | JC_N | TM/TO |
$C $ | JC_C | TM/TO |
$C_2 $ | JC_C2 | TM/TO |
${\dot\varepsilon}_{0}$ | JC_EPSP0 | TM/TO |
PowJohnsonCookYieldStress
Variante en puissance à la loi visco-plastique de Johnson-Cook (implémentation PP):
$$ \sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)^C \left( 1- \left( \dfrac{T-T_{room}}{T_{melt}-T_{room}} \right)^m \right) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$A $ | JC_A | TM/TO |
$B $ | JC_B | TM/TO |
$n $ | JC_N | TM/TO |
$m $ | JC_M | TM/TO |
Température de référence $T_{room}$ | JC_TROOM | TM/TO |
Température de fusion $T_{melt}$ | JC_TMELT | TM/TO |
$C $ | JC_C | TM/TO |
$\dot{\varepsilon}_0$ | JC_EPSP0 | TM/TO |
ZerilliArmstrongYieldStress
Loi visco-plastique de Zerilli-Armstong:
$$ \sigma_{yield} = \sigma_0 + C_5 \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right) ^{n_1} + C_2 \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^{n_2} \exp \left( -C_3 T + C_4 T \ln \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp} \right) $$
Dans le cas de métaux FCC, prendre $C_5=0$. Dans le cas de métaux BCC, prendre $n_2=0$.
Attention : cette loi est une loi thermomécanique. La température est la température absolue. Pour avoir des résultats physiquement acceptables, il faut utiliser des éléments et un schéma de résolution thermomécaniques.
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$\sigma_0$ | ZA_SIGMA0 | TM/TO |
$C_5$ | ZA_C5 | TM/TO |
$n_1$ | ZA_N1 | TM/TO |
$C_2$ | ZA_C2 | TM/TO |
$n_2$ | ZA_N2 | TM/TO |
$C_3$ | ZA_C3 | TM/TO |
$C_4$ | ZA_C4 | TM/TO |
CowperSymondsYieldStress
Loi visco-plastique de Cowper-Symonds.
$$ \sigma_{yield}= \sigma_0 \left( 1 + \dfrac{\dot{\overline{\varepsilon}}^{vp}}{D} \right)^{\frac{1}{p}} $$
où $\sigma_0$ est la limite élastique courante dont l'évolution est donnée par une loi de comportement statique (souvent linéaire par morceaux).
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
Numéro de la loi d'écrouissage | IH_NUM | |
$D $ | CS_D | TM/TO |
$p $ | CS_P | TM/TO |
ViscoKocksMeckingYieldStress
Description
Extension visco-plastique de la loi d'écrouissage isotrope type “Kocks-Mecking”.
$$ \sigma_{y} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v} [1-exp(-\frac{\Theta_{0}}{\sigma_{v}} \bar{\varepsilon}^{vp}) ] \;\;\; si \;\;\; \sigma_{y} \leq \sigma_{y}^{tr} $$
$$ \sigma_{y} = \sigma_{y}^{tr} + \Theta_{IV} \left( \bar{\varepsilon}^{vp} - \bar{\varepsilon}^{vp}_{tr}\right) \;\;\; si \;\;\; \sigma_{y} > \sigma_{y}^{tr} $$
avec la contrainte limite de transition entre les stades 3 et 4 (déterminée pour assurer une transition continue entre l'écrouissage saturant et constant)
$$ \sigma_{y}^{tr} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v}\frac{(\Theta_{0}-\Theta_{IV})}{\Theta_{0}} $$
et la défo plastique de transition correspondante :
$$ \bar{\varepsilon}^{vp}_{tr} = \frac{\sigma_{v}}{\Theta_{0}} \ln \left(\frac{\Theta_{0}}{\Theta_{IV}}\right) $$
La composante visqueuse de la contrainte limite se trouve cachée dans le calcul de la contrainte de saturation :
$$ \sigma_{v} = \sigma_{v0} \left ( \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}} \right ) ^{\left (\frac{kT}{A} \right )} $$
$k$ : constante de Boltzman = $1.381e-23 \mbox{J}/\mbox{K}$
$T$ : Température K (ATTENTION en Kelvin : nécessite de définir la température dans le matériau)
$A$ : Energie d'activation (constante matériau)
${\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}$ : référence plastic strain rate (= $1.e7$)
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$\sigma_0$ | IH_SIGMA0 | TM/TO |
$\Theta_{0}$ | KM_THETA0 | TM/TO |
$\Theta_{IV}$ | KM_THETA4 | TM/TO |
$\sigma_{v0}$ | KM_SIGV0 | - |
${\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}$ | KM_DEVPL0 | - |
$k$ : Constante de Boltzman | KM_BOLTZMANN | - |
$A$ | KM_A | - |
ViscoKocksMecking2YieldStress
Description
Extension visco-plastique de la loi d'écrouissage isotrope type “Kocks-Mecking”. Version 2 pour une meilleur concordance avec le Ta6V Pas de stade 4
L'équation de base reste : $$ \sigma_{y} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v} \left [1-exp \left (-\frac{\Theta_{0}}{\sigma_{v}} \bar{\varepsilon}^{vp}\right ) \right ] $$
La dépendance à la vitesse de déformation plastique et la température se trouve cachée dans le calcul de la contrainte de Voce $\sigma_{v}$. Tracant la contrainte de Voce en fonction d'un paramètre g défini par :
$$ g = \frac{kT}{\mu b^3} \ln \left ( \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}} \right ) $$
$b$ : étant la norme du vecteur de Burgers
$k$ : étant la constante de Boltzmann
(pour le Ta6V $ \frac{k}{b^3} ~ 1.135 $ en unité “$\mbox{Mpa}$”)
$T$ : Température K (ATTENTION en Kelvin : nécessite de définir la température dans le matériau)
$\mu$ : Module de cisaillement élastique du matériau (nécessite de redéfinir Young et Poisson dans la loi KM2!!!)
$\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}$: référence plastic strain rate (= $1.e7$)
On obtient la figure suivante :
Normalement KocksMecking prédit une évolution linéaire (KM data). Or les données d'essais du Ta6V sont les points colorés. On a donc une évolution en ligne brisée que l'on défini comme suit :
Soit g12 et g23 : valeur de g transition entre les 3 zones :
$$ \frac{\sigma_{v}}{\mu} = A1 \; g + B1 \;\;\;si\;\;\; g < G12 \\ \frac{\sigma_{v}}{\mu} = A2 \; g + B2 \;\;\;si\;\;\; G12 < g < G23 \\ \frac{\sigma_{v}}{\mu} = A3 \; g + B3 \;\;\;si\;\;\; G23 < g $$
Enfin On a aussi observé que l'entrée en plasticité dépend aussi de la vitesse de défo et de la température : (ici, la dépendance de la température est définie explicitement, mais elle pourrait aussi être définie implicitement)
$$\sigma_0 = A + B T + (C + D T) \ln \left (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}\right ) $$
Paramètres
Nom | Codes Metafor | Type de dépendance |
---|---|---|
$ A $ | IH_SIGEL_A | - |
$ B $ | IH_SIGEL_B | - |
$ C $ | IH_SIGEL_C | - |
$ D $ | IH_SIGEL_D | - |
$ A1 $ | KM2_SIGVOCE_A1 | - |
$ B1 $ | KM2_SIGVOCE_B1 | - |
$ G12 $ | KM2_SIGVOCE_G12 | - |
$ A2 $ | KM2_SIGVOCE_A2 | - |
$ B2 $ | KM2_SIGVOCE_B2 | - |
$ G23 $ | KM2_SIGVOCE_G23 | - |
$ A3 $ | KM2_SIGVOCE_A3 | - |
$ B3 $ | KM2_SIGVOCE_B3 | - |
$\frac{k}{b^3}$ | KM2_BOLTZMANN_BURGER3 | - |
Module de Young | KM2_ELASTIC_MODULUS | - |
Coefficient de Poisson | KM2_POISSON_RATIO | - |
$\Theta_{0}$ | KM_THETA0 | TM/TO |
${\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}$ | KM_DEVPL0 | - |