La classe YieldStress gère la contrainte limite du critère de plasticité. Qu'elle soit plastique (écrouissage isotrope), visco-plastique (additive : Perzyna, multiplicative : Cowper-Symonds ou non naturellement décomposable : ZerilliArmstrong, JohnsonCook, …).

$$\sigma_{yield} = \sigma_{yield} (\bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize, ...)$$

Lois implémentées dans Metafor.

Afin de simplifier 80% les tests, les classes IsotropicHardening (Isotropic hardening) sont des (dérivent de) YieldStress.

$$\sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp})$$

L'écrouissage isotrope est donc référencié dans le matériau directement comme YieldStress

Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope : $$\sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + \sigma_{grainSize}( \bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize )$$

Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope additionné d'une contrainte visco-plastique de Perzyna : $$\sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + K (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp})^M \left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^N$$

Contrainte limite définie par un écrouissage isotrope additionné d'une contrainte visco-plastique de Perzyna et d'une contrainte “taille de grain”: $$\sigma_{yield} = \sigma_{isoHard}( \bar{\varepsilon}^{vp}) + K (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp})^M \left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^N + \sigma_{grainSize}( \bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize )$$

Loi visco-plastique de Johnson-Cook :

$$\sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+C\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)+C_2\left(\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)\right)^2\right) \left( 1- \left( \dfrac{T-T_{room}}{T_{melt}-T_{room}} \right)^m \right)$$

Version “isotherme” de la loi visco-plastique de Johnson-Cook :

$$\sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+C\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)+C_2\left(\ln\left(\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)\right)^2\right)$$

Variante en puissance à la loi visco-plastique de Johnson-Cook (implémentation PP):

$$\sigma_{yield}= \left( A+B \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^n \right) \left(1+\dfrac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)^C \left( 1- \left( \dfrac{T-T_{room}}{T_{melt}-T_{room}} \right)^m \right)$$

Loi visco-plastique de Zerilli-Armstong:

$$\sigma_{yield} = \sigma_0 + C_5 \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right) ^{n_1} + C_2 \left( \bar{\varepsilon}^{vp} \right)^{n_2} \exp \left( -C_3 T + C_4 T \ln \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp} \right)$$

Dans le cas de métaux FCC, prendre $C_5=0$. Dans le cas de métaux BCC, prendre $n_2=0$.

Attention : cette loi est une loi thermomécanique. La température est la température absolue. Pour avoir des résultats physiquement acceptables, il faut utiliser des éléments et un schéma de résolution thermomécaniques.

Loi visco-plastique de Cowper-Symonds.

$$\sigma_{yield}= \sigma_0 \left( 1 + \dfrac{\dot{\overline{\varepsilon}}^{vp}}{D} \right)^{\frac{1}{p}}$$

où $\sigma_0$ est la limite élastique courante dont l'évolution est donnée par une loi de comportement statique (souvent linéaire par morceaux).

Extension visco-plastique de la loi d'écrouissage isotrope type “Kocks-Mecking”.

$$\sigma_{y} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v} [1-exp(-\frac{\Theta_{0}}{\sigma_{v}} \bar{\varepsilon}^{vp}) ] \;\;\; si \;\;\; \sigma_{y} \leq \sigma_{y}^{tr}$$

$$\sigma_{y} = \sigma_{y}^{tr} + \Theta_{IV} \left( \bar{\varepsilon}^{vp} - \bar{\varepsilon}^{vp}_{tr}\right) \;\;\; si \;\;\; \sigma_{y} > \sigma_{y}^{tr}$$

avec la contrainte limite de transition entre les stades 3 et 4 (déterminée pour assurer une transition continue entre l'écrouissage saturant et constant)

$$\sigma_{y}^{tr} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v}\frac{(\Theta_{0}-\Theta_{IV})}{\Theta_{0}}$$

et la défo plastique de transition correspondante :

$$\bar{\varepsilon}^{vp}_{tr} = \frac{\sigma_{v}}{\Theta_{0}} \ln \left(\frac{\Theta_{0}}{\Theta_{IV}}\right)$$

La composante visqueuse de la contrainte limite se trouve cachée dans le calcul de la contrainte de saturation :

$$\sigma_{v} = \sigma_{v0} \left ( \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}}{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}} \right ) ^{\left (\frac{kT}{A} \right )}$$

$k$ : constante de Boltzman = $1.381e-23 \mbox{J}/\mbox{K}$

$T$ : Température K (ATTENTION en Kelvin : nécessite de définir la température dans le matériau)

$A$ : Energie d'activation (constante matériau)

${\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}$ : référence plastic strain rate (= $1.e7$)

Extension visco-plastique de la loi d'écrouissage isotrope type “Kocks-Mecking”. Version 2 pour une meilleur concordance avec le Ta6V Pas de stade 4

L'équation de base reste : $$\sigma_{y} = \sigma_{y}^{0} + \sigma_{v} \left [1-exp \left (-\frac{\Theta_{0}}{\sigma_{v}} \bar{\varepsilon}^{vp}\right ) \right ]$$

La dépendance à la vitesse de déformation plastique et la température se trouve cachée dans le calcul de la contrainte de Voce $\sigma_{v}$. Tracant la contrainte de Voce en fonction d'un paramètre g défini par :

$$g = \frac{kT}{\mu b^3} \ln \left ( \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}}{\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}} \right )$$

$b$ : étant la norme du vecteur de Burgers
$k$ : étant la constante de Boltzmann
(pour le Ta6V $\frac{k}{b^3} ~ 1.135$ en unité “$\mbox{Mpa}$”)
$T$ : Température K (ATTENTION en Kelvin : nécessite de définir la température dans le matériau)
$\mu$ : Module de cisaillement élastique du matériau (nécessite de redéfinir Young et Poisson dans la loi KM2!!!)
$\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}_{0}$: référence plastic strain rate (= $1.e7$)

On obtient la figure suivante :

Normalement KocksMecking prédit une évolution linéaire (KM data). Or les données d'essais du Ta6V sont les points colorés. On a donc une évolution en ligne brisée que l'on défini comme suit :

Soit g12 et g23 : valeur de g transition entre les 3 zones :

$$\frac{\sigma_{v}}{\mu} = A1 \; g + B1 \;\;\;si\;\;\; g < G12 \\ \frac{\sigma_{v}}{\mu} = A2 \; g + B2 \;\;\;si\;\;\; G12 < g < G23 \\ \frac{\sigma_{v}}{\mu} = A3 \; g + B3 \;\;\;si\;\;\; G23 < g$$

Enfin On a aussi observé que l'entrée en plasticité dépend aussi de la vitesse de défo et de la température : (ici, la dépendance de la température est définie explicitement, mais elle pourrait aussi être définie implicitement)

$$\sigma_0 = A + B T + (C + D T) \ln \left (\dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}\right )$$