La classe IsotropicHardening gère les différentes lois d'écrouissage isotrope. Lois implémentées dans Metafor.

Ecrouissage isotrope linéaire

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} + h\, \bar{\varepsilon}^{vp}$$

Ecrouissage isotrope à saturation

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} + Q\left(1-\exp\left(-\xi \bar{\varepsilon}^{vp}\right)\right)$$

Ecrouissage isotrope à double saturation

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} + Q_1\left(1-\exp\left(-\xi_1 \bar{\varepsilon}^{vp}\right)\right) + Q_2\left(1-\exp\left(-\xi_2 \bar{\varepsilon}^{vp}\right)\right)$$

Ecrouissage isotrope de Ramberg-Osgood

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} \left(1+A\, \bar{\varepsilon}^{vp}\right)^{\frac{1}{n}}$$

Ecrouissage isotrope de Swift (une forme plus commune de Ramberg - Osgood)

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} +B \left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^{n}$$

Ecrouissage isotrope de Krupkowsky

$$\sigma_{vm} = K \left(\bar{\varepsilon}^{vp}_ {0} + \bar{\varepsilon}^{vp}\right)^{n}$$

Ecrouissage isotrope non linéaire 8 paramètres. Loi historique de Metafor (permet de faire quasi ce qu'on veut).

$$\begin {eqnarray*} \sigma_{vm} &=& \left(P_2-P_1\right)\, \left(1-\exp\left(-P_3\,\bar{\varepsilon}^{vp}\right)\right)\, + \, P_4\left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^{P_5} \, \\ & & + \, P_1\left(1+P_6\,\bar{\varepsilon}^{vp}\right)^{P_7} \, + \, P_8\,\bar{\varepsilon}^{vp} \end{eqnarray*}$$ === Paramètres === ^ Nom ^ Codes Metafor ^ Type de dépendance ^ |$P_1$ | IH_P1 | TM/TO |

Ecrouissage isotrope linéaire par morceau. Associe une fonction quelconque à la limite élastique (par exemple pour faire du linéaire par morceau).

$$\sigma_{vm} = \sigma^{el} \, * \, f\left(\bar{\varepsilon}^{vp}\right)$$

Une fonction d'évolution doit nécessairement être associée à IH_SIGEL (dépendant des déplacements généralisés GD).

Ecrouissage isotrope de type puissance.

$$\sigma_{vm}= P_1 \left[ P_2 \sigma_{vm} + P_3 \overline{\varepsilon}^{vp} \right] ^{P_4}$$

L'intégration de cette loi se fait de manière itérative.

Ecrouissage isotrope de type “Smatch”.

$$\sigma_{vm}= \left( P_1 + P_2 \overline{\varepsilon}^{vp} \right) \left( 1 - P_3 \exp \left( -P_4 \overline{\varepsilon}^{vp} \right) \right) + P_5$$

Ecrouissage isotrope de type “Goijaerts”.

$$\sigma_{vm}= \sigma_{el} + M_1 \left( 1-\exp(-\frac{\overline{\varepsilon}^{vp}}{M_2})\right) + M_3 \sqrt{\overline{\varepsilon}^{vp}} + M_4 \overline{\varepsilon}^{vp}$$

Ecrouissage isotrope de type “Kocks-Mecking”.

$$\sigma_{y} = \sigma_{y}^{0} + \frac{\Theta_{0}}{\beta} [ 1-exp(-\beta \bar{\varepsilon}^{vp}) ] \;\;\; si \;\;\; \bar{\varepsilon}^{vp} < \bar{\varepsilon}^{vp}_{tr}$$

$$\sigma_{y} = \sigma_{y}^{tr} + \Theta_{IV} \left( \bar{\varepsilon}^{vp} - \bar{\varepsilon}^{vp}_{tr}\right) \;\;\; si \;\;\; \bar{\varepsilon}^{vp} >\bar{\varepsilon}^{vp}_{tr}$$

avec la contrainte limite de transition entre les stades 3 et 4

$$\sigma_{y}^{tr} = \sigma_{y}^{0} + \frac{\Theta_{0}-\Theta_{IV}}{\beta}$$

et la défo plastique de transition correspondante :

$$\bar{\varepsilon}^{vp}_{tr} = \frac{1}{\beta} \ln \left(\frac{\Theta_{0}}{\Theta_{IV}}\right)$$