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+++ doc:user:elements:volumes:elements_formulation [2018/11/27 08:42] (current) – [EAS Formulation] boman
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-====== Méthodes d'intégration des contraintes ======
+====== Methods to integrate stresses ======
-Dans l'approche classique (Contraintes de Cauchy et en dehors des schémas conservatifs), il existe 4 méthodes d'intégration des contraintes sur l'élément.
+Following the classical approach (Cauchy stresses and out of conservative schemes), stresses over an element can be computed using 4 different methods.
-===== Formulation standard =====
+===== Standard formulation=====
-La formulation standard (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_STD'') consiste à intégrer les contraintes déviatoriques et volumiques (pression) en chaque point d'intégration. Cette méthode est sujette au phénomène de locking en pression au passage à la plasticité (l'élément n'est pas capable de prendre en compte la contrainte d'incompressibilité associée à la plasticité). Il pourrait être totalement sous intégré, mais dans ce cas, ce sont des modes Hourglass qui apparaissent (déformations n'entraînant pas de raideur).
+When using the standard formulation (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_STD''), deviatoric stresses and volume stresses (pressure) are computed at each integration point. Using this method can lead to pressure locking issues when undergoing plasticity (the element is not able to take into account the incompressibility constraint associated with plasticity). A typical solution used to prevent locking is to use a Full Reduced Integration, but then Hourglass modes could appear (spurious strains which does not lead to an increase in stiffness).
-===== Sous intégration sélective =====
+===== Selective Reduced Integration =====
-La réponse classique au phénomène de locking apparaissant dans la [[#formulation standard]] est l'utilisation d'éléments à sous intégration sélective (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_SRI'') : la pression est considérée comme constante sur l'élément et est calculée en son centre. La pression est donc intégrée sur un seul point d'intégration volumique.
+The classical solution to the locking issue, experienced when using the [[#Standard formulation]], is to use elements with selective reduced integration (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_SRI'') : the pressure is seen as constant over the element, and computed in its center (which means that the pressure is computed on one integration point only).
+<note> **Selective Reduced Integration** is different from **Full Reduced Integration**. Indeed, when using **Full Reduced Integration**, both pressure and deviatoric stresses are integrated on one integration point, located at the center of the element. This integration method induces //hourglass// modes, which are purely numerical modes leading to a degradation of the mesh.
-<note important> La **sous intégration sélective** ne doit pas être confondue à la **sous intégration complète** de l'élément (méthode non-implémentée dans Metafor). En effet, dans le cas de la **sous intégration complète**, le calcul de la pression et de la partie déviatorique sont effectués sur un seul point d'intégration situé au centre de l'élément. Ce type d'intégration génère des modes //hourglass//. Ces modes de déformations n'ont aucun sens physique, ils  engendrent des contraintes et de déformations nulles ainsi qu'une dégradation de la qualité du maillage.
 </note>
-Lors de la **sous intégration sélective**, la pression est calculée au centre de l'élément mais les contraintes déviatoriques sont calculées sur 4 points d'intégration en 2D et 8 en 3D. On évite ainsi l'apparition de modes //hourglass//.
+When using **Selective Reduced Integration**, pressure is computed at the element center but deviatoric stresses are computed using 4 integration points in 2D and 8 in 3D. This way, //Hourglass// modes are prevented.
-Le calcul des forces internes est effectué via la formule ci-dessous
-$$ F^{int} = \underbrace{\int_{V(t)}{ [B]^{T} {s} \ } dV}_{4 \ points \ d'integration \ en \ 2D - 8 \ en \ 3D} +
+The integration of internal forces is done with the formula:
-             \underbrace{\int_{V(t)}{ p [B]^{T} {I} \ } dV}_{1 \ point \ d'integration} $$
-où
+$$ F^{int} = \underbrace{\int_{V(t)}{ [B]^{T} {s} \ } dV}_{4 \ integration \ points \ in \ 2D - 8 \ in \ 3D} +
+             \underbrace{\int_{V(t)}{ p [B]^{T} {I} \ } dV}_{1 \ integration \ points} $$
-  *  $s$  est le déviateur des contraintes
+where
-  * p est la pression
-  *  $[B]^T$  est la matrice de "déformation-déplacement"
-Le calcul de l'intégrale du terme de pression sur 1 seul point d'intégration peut, dans certains cas (ex: éléments situés à proximité de l'axe dans le cas axisymétrique) devenir imprécis. Une solution consiste à reporter la pression calculée au centre de l'élément sur les points d'intégration déviatoriques et ainsi effectuer l'intégrale du second terme non plus sur 1 point d'intégration mais bien 4 en 2D et 8 en 3D (-> [[#Sous intégration sélective avec report de pression]]).
+  *  $s$  is the stress deviator
+  * p is the pressure
+  * $[B]^T$ is the "strain-displacement" matrix
+The evaluation of the pressure integral using only one integration point may lead to imprecision (for example, on elements situated near the axis in a axisymmetric case). A solution consists in estimating the pressure at the element center, then, reporting it on each deviatoric integration point and calculating the pressure integral with 4 points (8 in 3D) instead of only one (see [[#Selective Reduced Integration with Pressure Report]]).
-===== Sous intégration sélective avec report de pression =====
+===== Selective Reduced Integration with Pressure Report =====
-L'intégrale de la pression sur un seul point d'intégration de la pression entraîne une erreur due à la mauvaise approximation du volume de l'élément (effet fort marqué en axisymétrique proche de l'axe de révolution ou sur des maillages distordus). La pression (toujours calculée au centre et donc constante) peut donc aussi être intégrée sur les mêmes points d'intégration que les contraintes déviatoriques. On reporte donc la pression au centre vers les points d'intégration déviatoriques pour effectuer l'intégrale (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_SRIPR''). C'est la méthode par défaut.
+Integrating the pressure using only one integration point leads to inaccuracies due to an erroneous estimation of the element volume (this can become quite significant in axisymmetric near the revolution axis or when the mesh is highly distorted). The solution consists in calculating the pressure at the element center. Then, since its value is constant over the element, it can be integrated at each integration point used to compute deviatoric stresses. Therefore, the pressure is reported at these integration point to compute the pressure integral using these four points. This method (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_SRIPR'') is the default one.
+===== EAS Formulation=====
-===== Formulation EAS =====
+Another method which can avoid locking issues is the EAS integration (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_EAS''). Computationaly more expensive, this method handles locking by adding deformation modes (which can take pressure and shear locking into account) to the strain field. This method requires the introduction of more specific parameters in the ''[[doc:user:elements:general:def_element_properties|ElementProperties]]'' of the [[doc:user:elements:volumes:volumeelement|volume element]] (see [[doc:user:elements:volumes:volumeelement#Parameters]]):
+ - integer parameters : ''EASS'', ''EASV'', ''KEAS'', ''UEAS'', ''IEAS'', ''TEAS'', ''EEAS''
+ - double parameters (''PEAS'').
-Une autre méthode d'intégration permettant de lever les phénomènes de locking est l'intégration EAS (''CAUCHYMECHVOLINTMETH = VES_CMVIM_EAS''). Beaucoup plus lourde, cette méthode permet de gérer les locking à lever en enrichissant le champs de déformation de mode de déformation permettant de prendre en compte locking volumique (en pression) et en cisaillement. Cette méthode nécessite l'introduction de paramètres supplémentaires spécifiques dans l' ''[[doc:user:elements:general:def_element_properties|ElementProperties]]'' des [[doc:user:elements:volumes:volumeelement|éléments de volume]] (voir [[doc:user:elements:volumes:volumeelement#parametres_des_elements_de_volume]]):
+<note warning>EAS is not implemented for 2D axisymmetric problems!</note>
- - paramètres entiers : entiers : ''EASS'', ''EASV'', ''KEAS'', ''UEAS'', ''IEAS'', ''TEAS'', ''EEAS''
- - paramètre double (''PEAS'').