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 ==== Méthode de mise à jour du Lagrangien augmenté tangentiel ====
-$$\mathbf{\lambda^{k,i}} $$
+La force tangentielle de contact est définie comme :
-J'ai ajouté une option pour calculer une longueur caractéristique du contact dans le critère géométrique normalisé.
-Par défaut (ALM_AIC_LENGTH), on divise le gap normal et le gap tangentiel par l'aire de contact nodale, qui correspond à l'aire de contact nodale utilisée dans Area In Contact.
+$$\boldsymbol{f}_t^{(k,i)}  = \boldsymbol{\lambda}_t^{(k,i)} + C_t \boldsymbol{g}_t^{(i)} $$
+où
+  * $k$ est l'indice de l'augmentation.
+  * $i$ est l'indice de l'itération mécanique.
+  * $\boldsymbol{f}_t$ est la force tangentielle.
+  * $\boldsymbol{\lambda}_t$ est le vecteur lagrangien augmenté tangentiel.
+  * $\boldsymbol{g}_t$ est le vecteur gap tangentiel.
+  * $C_t$ est le coefficient de pénalité tangentiel.
-Malgré sa simplicité, cette approche peut poser un problème du point de vue du contact normal, où c'est l'interpénétration des corps en contact qui compte et dès lors, il faut définir une distance caractéristique normale à la surface de contact. Par exemple, dans le cas d'un rectangle écrasé par un plan rigide en état plan déformation, la distance caractéristique pour le gap normal est la "largeur" des mailles sous-jacentes au nœud de contact et la distance caractéristique pour le gap tangentiel est la "longueur" de la maille moyenne de part et d'autre du nœud en contact. Étant donné que nous utilisons en général des éléments mécaniques du premier degré, on divise cette longueur et cette largeur par 2. Cette dernière approche s'appelle "ALM_GEO_LENGTH".
+Puisque le plan de normal $\boldsymbol{n}^{(k)}$ où se trouve le vecteur $\boldsymbol{\lambda}_t^{(k)}$ ne correspond pas à priori au plan de normal $\boldsymbol{n}^{(i)}$ où se trouve le vecteur $\boldsymbol{f}_t^{(k,i)}$, nous devons le mettre à jour afin d'être cohérent (Principe d'objectivité = traitement des mouvements de rotation de corps rigide) :
+$$\boldsymbol{\lambda}_t^{(k,i)}  = \boldsymbol{T} ( \boldsymbol{n}^{(i)}, \boldsymbol{n}^{(k)} ) \boldsymbol{\lambda}_t^{(k)} $$
+où
+  * $k$ est l'indice de l'augmentation.
+  * $i$ est l'indice de l'itération mécanique.
+  * $\boldsymbol{n}$ est la normale à la surface maître évaluée au point correspondant à la projection du nœud/point esclave sur l'entité maître.
+  * $\boldsymbol{T}$ est l'opérateur de transformation.
+  * $\boldsymbol{\lambda}_t$ est le vecteur lagrangien augmenté tangentiel.
+L'opérateur de transformation $\boldsymbol{T}$  est
+  - soit une projection : $$\boldsymbol{T} ( \boldsymbol{n}^{(i)}, \boldsymbol{n}^{(k)} )= \boldsymbol{I} - \boldsymbol{n}^{(i)} \otimes \boldsymbol{n}^{(i)}  $$
+  - soit une rotation (Formule de Rodrigues) : $$\boldsymbol{T} ( \boldsymbol{n}^{(i)}, \boldsymbol{n}^{(k)} )= \cos{\phi} \boldsymbol{I}  + (1- \cos{\phi}) \boldsymbol{n} \otimes \boldsymbol{n} +\tilde{\boldsymbol{n}} \sin{\phi} $$
+  où
+  * $\cos{\phi} = \boldsymbol{n}^{(k)} \times \boldsymbol{n}^{(i)}$
+  * $\sin{\phi} = ||\boldsymbol{n}^{(k)}  \wedge  \boldsymbol{n}^{(i)}||$
+  * $\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{n}^{(k)}  \wedge  \boldsymbol{n}^{(i)}}{||\boldsymbol{n}^{(k)}  \wedge  \boldsymbol{n}^{(i)}||}$
+  * $\tilde{ }$ est l'opérateur du produit vectoriel sous forme matricielle.
+On constate que dans le cas d'un collement parfait $\boldsymbol{g}_t = \boldsymbol{0}$, l'opérateur de rotation est exact contrairement à l'opérateur de projection. Cependant, suite à la nature itérative du lagrangien augmenté (boucle d'augmentation), la méthode avec projection n'empêche pas fondamentalement la convergence de l'algorithme du lagrangien augmenté.
+Dans Metafor, nous pouvons faire le choix entre ces deux méthodes (pour les matériaux de contact avec une composante tangentielle) :
 <code>
-augLagCriterion = AugLagNormalisedGeoCriterion(alm)
+materset.define(1, AugLagStickingContactMaterial)
-augLagCriterion.setCharacteristicLengthMeth(ALM_GEO_LENGTH)
+materset(1).put(TANGENTAUGLAGUPDATEMETHOD, OPTION)
 </code>
-Elle est implémentée pour le contact 2D (état plan déformation et modélisation axisymétrique) et le contact en 3D.
+OPTION = TALUM_ROTATION (mise à jour avec rotation) ou OPTION = TALUM_PROJECTION (mise à jour avec projection).
-Elle a été testé dans le cas de la rupture des éléments.
+Par défaut, nous avons toujours la méthode TALUM_PROJECTION, puisque que c'était la seule existante ...
+Finalement, la linéarisation cohérente de la matrice de raideur tangente de contact tient en considération les deux méthodes citées (Développement mathématique très sympathique ...) .
-<note important>Cette méthode doit être adaptée dans le cas de l'utilisation d'éléments finis mécaniques d'ordre 2.</note>
+==== Divers - Tutorials ====
+J'ai ajouté le jeux de données des projets de seconde session de cette année.
 ===== Fichiers ajoutés/supprimés ======
 <code>
-[a]:AugLagCharacteristicLengthMethod.h
+[a]:mtContact/src/TangentialAugmentedLagrangianUpdateMethod.cpp
-[a]:AugLagCharacteristicLengthMethod.cpp
+[a]:mtContact/src/TangentialAugmentedLagrangianUpdateMethod.h
 [r]:
 </code>
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 <code>
 [r]:
-[a]:
+[a]:apps/tutorials/cylinderUnderExternalPressure.py
 </code>
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