La classe YieldStress gère la contrainte limite du critère de plasticité. Qu'elle soit plastique (écrouissage isotrope), visco-plastique (additive : Perzyna, multiplicative : Cowper-Symonds ou non naturellement décomposable : ZerilliArmstrong, JohnsonCook, …).

$$ \sigma_{yield} = \sigma_{yield} (\bar{\varepsilon}^{vp}, \dot{\bar{\varepsilon}}^{vp}, grainSize, ...) $$

Lois implémentées dans Metafor.

Partie visqueuse de la contrainte limite plastique spécifique aux matériaux thixo. Ce modèle dépend de deux paramètres internes spécifiques aux matériaux thixo: le degré de cohésion $ \lambda $ , et de la fraction liquide totale $ f_{l} $ ou effective $ f_{l}^{eff} $) (en fonction du choix du paramètre $ m_5 $: $ f_{l} $ si $ m_5=0 $ et $ f_{l}^{eff} $ si $ m_5=1 $). On peut également choisir une la loi d'Isotropic hardening qui dépend de ces 2 paramètres internes.

$$ \sigma_{yield}= \sigma_{isoH} + \sigma_{visq} $$

La loi visqueuse est une loi de Perzyna dont les paramètres $ K $ et $ M $ dépendent des deux paramètres internes thixo: le degré de cohésion $ \lambda $ et la fraction liquide totale $ f_l $ ou la effective $ f_l^{eff} $.

avec :

$$ \sigma_{visq}= K \left (\dot{\overline{\varepsilon}}^{vp}\right )^{M} $$

où

$$ K = K_1 e^{K_2(1-f_l)} e^{K_3 \lambda} $$

et

$$ M = (M_1 + M_3 \lambda^2 + M_4 \lambda ) e^{M_2 (1-f_l)} $$

Attention: Fonctionne uniquement pour les matériaux “thixo”: ThixoEvpIsoHHypoMaterial ou ThixoTmEvpIsoHHypoMaterial .

Partie visqueuse de la contrainte limite plastique spécifique aux matériaux thixo. Ce modèle dépend de deux paramètres internes spécifiques aux matériaux thixo: le degré de cohésion $ \lambda $, de la fraction liquide totale $ f_{l} $ et effective $ f_{l}^{eff} $. On peut également choisir une la loi d'Isotropic hardening qui dépend de ces 2 paramètres internes.

$$ \sigma_{yield}= \sigma_{isoH} + \sigma_{visq} $$

La loi visqueuse est une loi de viscosité de Burgos étendue pour dégénérer correctement vers un comportement de particules en suspension lorsque le squelette solide est complètement incohérent ($ \lambda = 0 $).

$$ \sigma_{visq}= \eta_{susp}+ (\eta_{skel} - \eta_{susp} ) \lambda^2 (3-2\lambda) $$

où

$$ \eta_{susp} = K_4 e^{M_5 (1 - f_l^{eff})} $$

et (loi de Burgos)

$$ \eta_{skel} = K (\dot{\overline{\varepsilon}}^{vp})^{M} $$

avec $$ K = K_1 e^{K_2(1-f_l)} e^{K_3 \lambda} $$

et

$$ M = (M_1 + M_3 \lambda^2 + M_4 \lambda ) e^{M_2 (1-f_l)} $$

Attention: Fonctionne uniquement pour les matériaux “thixo”: ThixoEvpIsoHHypoMaterial ou ThixoTmEvpIsoHHypoMaterial.

Partie visqueuse de la contrainte limite plastique spécifique aux matériaux thixo. Ce modèle dépend de deux paramètres internes spécifiques aux matériaux thixo: le degré de cohésion $ \lambda $, de la fraction liquide totale $ f_{l} $ et effective $ f_{l}^{eff} $. On peut également choisir une la loi d'Isotropic hardening qui dépend de ces 2 paramètres internes.

$$ \sigma_{yield}= \sigma_{isoH} + \sigma_{visq} $$

La loi visqueuse est une loi de viscosité de Burgos étendue pour dégénérer correctement vers un comportement de particules en suspension lorsque le squelette solide est complètement incohérent ($ \lambda = 0 $).

$$ \sigma_{visq}= \eta_{susp}+ (\eta_{skel} - \eta_{susp} ) \lambda^2 (3-2\lambda) $$

où

$$ \eta_{susp} = K_4 \left (f_l^{eff} \right )^{-M_5 (1 - (1-f_l)^{M_6})} $$

et (loi de Burgos)

$$ \eta_{skel} = K \left (\dot{\overline{\varepsilon}}^{vp} \right )^{M} $$

avec $$ K = K_1 e^{K_2(1-f_l)} e^{K_3 \lambda} $$

et

$$ M = (M_1 + M_3 \lambda^2 + M_4 \lambda ) e^{M_2 (1-f_l)} $$

Attention: Fonctionne uniquement pour les matériaux “thixo”: ThixoEvpIsoHHypoMaterial ou ThixoTmEvpIsoHHypoMaterial.

Partie visqueuse de la contrainte limite plastique spécifique aux matériaux thixo. Ce modèle dépend de deux paramètres internes spécifiques aux matériaux thixo: le degré de cohésion $ \lambda $ et la fraction liquide $ f_{l} $. On peut également choisir une la loi d'Isotropic hardening qui dépend de ces 2 paramètres internes .

$$ \sigma_{yield}= \sigma_{isoH} + \sigma_{visq} $$

La partie Viqueuse de la contrainte visco-plastique est calculée par le modèle micro-macro qui considère le matériau comme des “inclusions recouvertes”. Les inclusions sont composées des grains solides et du liquides enfermé à l'intérieur du squelette solide, tandis que l'enrobage ou “zone active” est constitué du liquide non enfermé et des joints de grains. Ce modèle est calculé par un système de 3 équations à 3 inconnues (les variables de localisation des phases) résolu par itérations de Newton-Paphson:

Variable de localisation de la phase solide dans la zone active $$ A_a^s=\frac{5 \sigma_a}{3 \sigma_a + 2 \sigma_a^s}\\ $$

Variable de localisation de la phase solide dans les inclusions $$ A_i^s=\frac{5 \sigma_i}{3 \sigma_i + 2 \sigma_i^s}\\ $$

Variable de localisation des inclusions dans le matériau global $$ A_i =\frac{5 \sigma_{visq} \sigma_a}{3 \sigma_{visq} \sigma_a + 2 \sigma_i \sigma_a + 6/5 f_a A_i (\sigma_i - \sigma_a)^2 } $$

où on a:

Contrainte visqueuse dans la phase solide de la zone active: $$ \sigma_a^s = k_p (A_a^s \frac{1-(1-f_a)A_i}{f_a})^{m_p-1} (\dot{\overline{\epsilon}}^{vp})^{m_p}\\ $$

Contrainte visqueuse dans la phase solide des inclusions: $$ \sigma_i^s = k_s (A_i^s A_i)^{m_s-1} (\dot{\overline{\epsilon}}^{vp})^{m_s}\\ $$

Contrainte visqueuse dans la zone active: $$ \sigma_a = k_l \dot{\overline{\epsilon}}^{vp} (1-\lambda A_a^s) + \lambda A_a^s \sigma_a^s \\ $$

Contrainte visqueuse dans les inclusions: $$ \sigma_i = k_l \dot{\overline{\epsilon}}^{vp} (1-\frac{1-f_l-f_a \lambda}{1-f_a} A_i^s) + \lambda A_i^s \sigma_i^s \\ $$

Contrainte visqueuse: $$ \sigma_{visq} = \sigma_a (1 - (1-f_a) A_i) + \sigma_i (1-f_a) A_i $$