La classe ContinousDamage gère les différentes lois d'endommagement continu. Lorsqu'on veut implémenter une nouvelle loi d'endommagement, il faut définir l'évolution de la variable d'endommagement $ \Delta D $ ainsi que ses dérivées par rapport à la pression, la déformation plastique et l'endommagement

Lois implémentées dans Metafor

$$ \dot D = \left(\dfrac{\bar \sigma^2 R_\nu}{2ES\left(1-D\right)^2}\right)^s \dot \varepsilon^{pl} \mbox{ si } \varepsilon^{pl} > \varepsilon^{pl}_D $$

où la fonction de triaxialité est définie par:

$$ R_\nu = \dfrac{2}{3}\left(1+\nu\right) + 3\left(1-2\nu\right) \left(\dfrac{p}{\bar\sigma}\right)^2 $$

avec $ E $ le module de Young du matériau, $ \nu $ le coefficient du matériau, $ p $ la pression et $ \bar \sigma $ est la contrainte équivalente de Von-Mises.

Il s'agit d'une loi d'endommagement pour le remodelage osseux (tirée de la loi d'endo. de Doblaré qu'il utilise uniquement en élasticité). La variation d'endo dépend principalement de l'endo, de la surface disponible pour le remodelage et d'une fonction “taux de remodelage”, fonction elle même de l'état de contrainte.

$$ \dot d =f(d, \rho_0)kS_v(d)\dot r $$

où

$S_v(d)$ est la surface disponible par unité de volume pour du remodelage (polynôme 5ème puissance de l'endo)

et où

$$ \begin{align*} \dot r &= \ cf_1(d, \rho_0)g_f&\text{ si }g_f>0 \\ \dot r &= -cf_1(d, \rho_0)g_r&\text{ si }g_r>0 \end{align*} $$ avec $$ \begin{eqnarray*} g_f &=& N^{1/4}u(\sigma)-(1+\omega)\psi \\ g_r &=& \dfrac{1}{N^{1/4}u(\sigma)}-\dfrac{1}{(1-\omega)\psi} \end{eqnarray*} $$ $ f, f_1 $ sont fonctions de l'endo, $ u $ est une mesure de l'énergie de défo élastique

Il s'agit d'une loi d'endommagement pour le remodelage de l'os alvéolaire. La variation d'endo dépend en plus de la pression.

$$ \dot d =f(d, \rho_0)kS_v(d)\dot r $$

où

$S_v(d)$ est la surface disponible par unité de volume pour du remodelage (polynôme 5ème puissance de l'endo)

$$ \begin{align*} \dot r &= cf_1(d, \rho_0)g_f &\text{ si }g_f>0 \text{ et } p>0 \\ \dot r &= -cf_1(d, \rho_0)g_f &\text{ si }g_f>0 \text{ et } p<0 \\ \dot r &= -cf_1(d, \rho_0)g_r &\text{ si }g_r>0 \end{align*} $$ avec $$ \begin{eqnarray*} g_f &=& N^{1/4}u(\sigma)-\psi \\ g_r &=& \dfrac{1}{N^{1/4}u(\sigma)}-\dfrac{1}{\psi} \end{eqnarray*} $$ $ f, f_1 $ sont fonctions de l'endo, $ u $ est une mesure de l'énergie de défo élastique.

idem que précédente mais constantes de remodelage différentes en formation et résorption.

$$ \begin{align*} \dot r &= c_ff_1(d, \rho_0)g_f\;\;&\text{ si }g_f>0\;\;\text{ et } p>0 \\ \dot r &= -c_rf_1(d, \rho_0)g_f\;\;&\text{ si }g_f>0\;\;\text{ et } p<0 \\ \dot r &= -c_rf_1(d, \rho_0)g_r\;\;&\text{ si }g_r>0 \end{align*} $$ avec <note>Manque certaines définitions</note> === Paramètres === ^ Nom ^ Codes Metafor ^ | Coefficient $ N $ | BONE_REMOD_N |

$$ \dot D = D_C\dfrac{\dot \varepsilon^{pl}}{\varepsilon^{pl}_f-\varepsilon^{pl}_D} \mbox{ si } \varepsilon^{pl} > \varepsilon^{pl}_D $$

où la déformation plastique de rupture est définie par:

$$ \varepsilon^{pl}_f = \left(D_1 + D_2 \exp\left(D_3\dfrac{p}{\bar\sigma}\right)\right) \left(1+\ln\dfrac{\dot \varepsilon^{pl}}{\dot \varepsilon^{pl}_0}\right)^{D_4} \left(1-D_5\dfrac{T-T_{room}}{T_{melt}-T_{room}}\right) $$

où $ p $ est la pression et $ \bar \sigma $ est la contrainte équivalente de Von-Mises.

Loi d'endommagement continu de Geers. On trouve plusieurs variantes de cette loi, toutes du même auteur, d'où le regroupement au sein d'une même classe mère. Il faut noter que, dans le modèle complet de Geers, l'endommagement est intégré de manière globale à toute la structure et non de manière locale (à chaque point d'intégration). Je veux bien fournir des références aux personnes intéressées. Les modèles sont basés sur une grandeur caractéristique appelée $\kappa$.

Loi puissance. La grandeur caractéristique $\kappa$ est la déformation plastique équivalente $\varepsilon^{pl}$:

$$ D = 1 - \left(\dfrac{\kappa_i}{\kappa}\right)^{n_1} \left(\dfrac{\kappa-\kappa_i}{\kappa_c-\kappa_i}\right)^{n_2} \mbox{ si } \kappa_i\leq\kappa\leq\kappa_c $$

Loi exponentielle. La grandeur caractéristique $\kappa$ est la déformation plastique équivalente $\bar\varepsilon^{pl}$

$$ D = 1 - \exp\left(-\beta\left(\kappa-\kappa_i\right)\right) $$

Loi en tangente hyperbolique. La grandeur caractéristique est la déformation plastique équivalente $\varepsilon^{pl}$

$$ D = \dfrac{1}{2\tanh\left(3\right)} \left(\tanh\left(6\dfrac{\kappa-\kappa_i}{\kappa_c-\kappa_i}-3\right)+\tanh\left(3\right)\right) $$

Loi linéaire: La grandeur caractéristique est une fonction de la triaxialité des contraintes et de la déformation plastique équivalente $\varepsilon^{pl}$

$$ \dot{\kappa} = C\left<1+A\dfrac{p}{\bar\sigma}\right> \left(\varepsilon^{pl}\right)^B \dot\varepsilon^{pl} $$ où $p$ est la pression et $ \overline{\sigma} $ est la contrainte équivalente de Von Mises. $\langle .\rangle$ sont les symboles de MacCaulay ( $\langle \alpha\rangle = \alpha $ si $ \alpha \ge 0 $ et $ 0 $ sinon)

$$ \dot D = \dfrac{\dot\kappa}{\kappa_c-\kappa_i} $$