Il s'agit d'intégrer l'équation d'équilibre entre les forces internes $F^{int}$, les forces d'inerties $Ma$ ($M$ est la matrice diagonalisée des masses et $a$ l'accélération) et les forces externes $F^{ext}$ :

$$Ma+F^{int}=F^{ext}$$

Les relations entre les déplacements $x$, vitesses $v$ et accélérations $a$ sont :

$$v(t^{n+1/2}) = v(t^{n-1/2}) + (t^{n+1}-t^n) a(t^n)$$
$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^{n+1/2})$$

L'équation d'équilibre devient :

$$a(t^{n+1}) = (F^{ext}(t^{n+1}) - F^{int}(t^{n+1}))/M$$

Ce schéma est conditionnellement stable (la taille du pas de temps est limitée) et non-dissipatif.

Il s'agit des mêmes relations que le schéma implicite alpha-généralisé mais avec le paramètre de pondération des forces internes et externes $\alpha_F$ pris égal à 1. Cette équation se réécrit pour le calcul au temps $t^{n+1}$:

$$(1-\alpha_M) a(t^{n+1}) + \alpha_M a(t^n) = \frac{F^{ext}(t^n) - F^{int}(t^n)}{M}$$

Les relations entre les déplacements $x$, vitesses $v$ et accélérations $a$ sont:

$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^n) + (t^{n+1}-t^n)^2 \left( (0.5-\beta)a(t^n) + \beta a(t^{n+1})\right)$$ $$v(t^{n+1}) = v(t^n) + (t^{n+1}-t^n) {(1-\gamma)a(t^n) + \gamma a(t^{n+1})}$$

Les valeurs particulières des paramètres de pondération qui conduisent à une dissipation numérique optimale sont données en fonction du rayon spectral $\rho_\beta$ (MDR_ECHR) à la fréquence de bifurcation (un rayon spectral égal à 1 conduit a un algorithme conservatif alors qu'un rayon spectral inférieur à 1 conduit à un algorithme dissipatif) (voir paramètres réels):

$$\alpha_M = (2\rho_\beta-1)/(1+\rho_\beta)$$
$$\gamma = 3/2 - \alpha_M$$
$$\beta = \frac{5-3\rho_\beta}{(1+\rho_\beta)^2 (2-\rho_\beta)}$$

Ce schéma est conditionnellement stable (la taille du pas de temps est limitée).

Algorithme explicite avec dissipation numérique controlée par le paramètre $\phi$.

L'équilibre est calculé par:

$$a(t^{n+1}) = \frac{F^{ext}(t^{n+1}) - F^{int}(t^{n+1})}{M}$$

Les relations entre les déplacements x, vitesses v et accélérations a sont:

$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^n) + \phi (t^{n+1}-t^n)^2 a(t^n)$$
$$v(t^{n+1}) = v(t^n) + (t^{n+1}-t^n) a(t^n)$$

La stabilité est assurée pour $\phi \geq 1$ et les hautes fréquences sont annihilées en un pas de temps pour $\phi = 2$. Le schema est d'ordre:

• 2 pour $\phi = 1$ (pas de dissipation numérique)
• 1 pour $\phi > 1$ (dissipation numérique)

La relation entre $\phi$ et le rayon spectral à la bifurcation $\rho_\beta$ (paramètre utilisateur MDR_ECHR) est:

• $$\phi = \frac{2(1- \rho_\beta^{1/2})}{(1-\rho_\beta)} \mbox{ si } \rho_\beta < 1$$
• $$\phi = 1 \mbox{ si } \rho_\beta = 1$$

Voir schéma dynamique implicite pour la définition de la densité et des vitesses initiales.

(voir Global Parameters [REMOVED])

Paramètres supplémentaires: voir Quasi-static integration schemes