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Schéma d'intégration dynamique explicite
Description
Il s'agit d'intégrer l'équation d'équilibre entre les forces internes $F^{int}$, les forces d'inerties $Ma$ ($M$ est la matrice diagonalisée des masses et $a$ l'accélération) et les forces externes $F^{ext}$ :
$$Ma+F^{int}=F^{ext}$$
Le schéma de la différence centrée
Les relations entre les déplacements $x$, vitesses $v$ et accélérations $a$ sont :
$$v(t^{n+1/2}) = v(t^{n-1/2}) + (t^{n+1}-t^n) a(t^n) $$
$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^{n+1/2}) $$
L'équation d'équilibre devient :
$$a(t^{n+1}) = (F^{ext}(t^{n+1}) - F^{int}(t^{n+1}))/M $$
Ce schéma est conditionnellement stable (la taille du pas de temps est limitée) et non-dissipatif.
Le schéma alpha-généralisé
Il s'agit des mêmes relations que le schéma implicite alpha-généralisé mais avec le paramètre de pondération des forces internes et externes $\alpha_F$ pris égal à 1. Cette équation se réécrit pour le calcul au temps $t^{n+1}$:
$$(1-\alpha_M) a(t^{n+1}) + \alpha_M a(t^n) = \frac{F^{ext}(t^n) - Fint(t^n)}{M}$$
Les relations entre les déplacements $x$, vitesses $v$ et accélérations $a$ sont:
$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^n) + (t^{n+1}-t^n)^2 \left( (0.5-\beta)a(t^n) + \beta a(t^{n+1})\right) $$ $$v(t^{n+1}) = v(t^n) + (t^{n+1}-t^n) {(1-\gamma)a(t^n) + \gamma a(t^{n+1})} $$
Les valeurs particulières des paramètres de pondération qui conduisent à une dissipation numérique optimale sont données en fonction du rayon spectral $\rho_\beta$ (MDR_ECHR
) à la fréquence de bifurcation (un rayon spectral égal à 1 conduit a un algorithme conservatif alors qu'un rayon spectral inférieur à 1 conduit à un algorithme dissipatif) (voir paramètres réels):
$$\alpha_M = (2\rho_\beta-1)/(1+\rho_\beta) $$
$$\gamma = 3/2 - \alpha_M $$
$$\beta = \frac{5-3\rho_\beta}{(1+\rho_\beta)^2 (2-\rho_\beta)}$$
Ce schéma est conditionnellement stable (la taille du pas de temps est limitée).
Le schema Tchamwa
Algorithme explicite avec dissipation numérique controlée par le paramètre $\phi$.
L'équilibre est calculé par:
$$a(t^{n+1}) = \frac{Fext(t^{n+1}) - Fint(t^{n+1})}{M}$$
Les relations entre les déplacements x, vitesses v et accélérations a sont:
$$x(t^{n+1}) = x(t^n) + (t^{n+1}-t^n) v(t^n) + \phi (t^{n+1}-t^n)^2 a(t^n) $$
$$v(t^{n+1}) = v(t^n) + (t^{n+1}-t^n) a(t^n) $$
La stabilité est assurée pour $\phi \geq 1 $ et les hautes fréquences sont annihilées en un pas de temps pour $\phi = 2$. Le schema est d'ordre:
- 2 pour $\phi = 1$ (pas de dissipation numérique)
- 1 pour $\phi > 1$ (dissipation numérique)
La relation entre $\phi$ et le rayon spectral à la bifurcation $\rho_\beta$ (paramètre utilisateur MDR_ECHR
) est:
- $$\phi = \frac{2(1- \rho_\beta^{1/2})}{(1-\rho_\beta)} \mbox{ si } \rho_\beta < 1 $$
- $$\phi = 1 \mbox{ si } \rho_\beta = 1 $$
Jeu de données
Voir schéma dynamique implicite pour la définition de la densité et des vitesses initiales.
Choisir l'algorithme
Schéma | MDE_NDYN | MDR_ECHR |
---|---|---|
Chung Hulbert | 3 | X |
Différence centrée | 1 | |
Tchamwa | 6 | X |
(voir Global Parameters [REMOVED])
Paramètres supplémentaires: voir Quasi-static integration schemes