La classe ContinousDamage gère les différentes lois d'endommagement continu. Lorsqu'on veut implémenter une nouvelle loi d'endommagement, il faut définir l'évolution de la variable d'endommagement $\Delta D$ ainsi que ses dérivées par rapport à la pression, la déformation plastique et l'endommagement

Lois orthotropes implémentées dans Metafor

Loi d'endommagement à effet retard pour les composites à fibres tissées.

La densité d'énergie de déformation est donnée par l'expression $$\begin{eqnarray*} W_{\rm D} &=& \dfrac{1}{2}\Biggl( \dfrac{\sigma_{11}^2}{E_1\,(1-d_{11})} -2\,\dfrac{\nu_{12}}{E_1}\,\sigma_{11}\,\sigma_{22} -2\,\dfrac{\nu_{13}}{E_1}\,\sigma_{11}\,\sigma_{33} \\ && +\dfrac{\sigma_{22}^2}{E_2\,(1-d_{22})} -2\,\dfrac{\nu_{23}}{E_2}\,\sigma_{22}\,\sigma_{33} \\ &&+\dfrac{\sigma_{33}^2}{E_3} +\dfrac{\sigma_{12}^2}{G_{12}\,(1-d_{12})} +\dfrac{\sigma_{13}^2}{G_{13}\,(1-\lambda\, d_{12})} +\dfrac{\sigma_{23}^2}{G_{23}\,(1-\lambda\, d_{12})} \Biggr) \;. \end{eqnarray*}$$ Il y a trois variables d'endommagement, $d_{11}$, $d_{22}$ et $d_{12}$. L'effet retard est introduit via la définition d'une loi d'évolution temporelle de l'endommagement,

$$\dot{d}_{ij} = \frac{1}{\tau_c}\,\left( 1-e^{-a_c\,\langle d^s_{ij} - d_{ij} \rangle_+} \right) \;,$$ où $a_c$ et $\tau_c$ sont les paramètres d'effet retard, $\langle x \rangle_+$ est une fonction qui vaut $x$ si $x$ est positif et 0 sinon, et $d^s_{ij}$ est la valeur statique de l'endommagement. En direction des fibres, on a $$\begin{eqnarray*} d_{11}^s &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } \left(Y_{11}<Y_{11}^{c+} \text{ et } \sigma_{11}>0\right) \text{ ou } \left(Y_{11}<Y_{11}^{c-} \text{ et } \sigma_{11}<0\right) \\ 1 & \text{ sinon} \end{array} \right. \;, \\ d_{22}^s &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } \left(Y_{22}<Y_{22}^{c+} \text{ et } \sigma_{22}>0\right) \text{ ou } \left(Y_{22}<Y_{22}^{c-} \text{ et } \sigma_{22}<0\right) \\ 1 & \text{ sinon} \end{array} \right. \;, \end{eqnarray*}$$ où $Y_{ii}^{c+}$ et $Y_{ii}^{c-}$ sont les valeurs critiques des forces thermodynamiques en traction et en compression respectivement. En cisaillement, on définit d'abord la force thermodynamique équivalente $$\begin{eqnarray*} Y_{\rm eq}(t) &=& \sup_{\tau\leq t} \left( \alpha_1\,Y_{11}^+ + \alpha_2\,Y_{22}^+ + Y_{12} \right) \;, \\ Y_{ii}^+ &=& \left\{ \begin{array}{ll} Y_{ii} & \text{ si } \sigma_{ii}>0 \\ 0 & \text{ sinon} \end{array} \right. \;, \end{eqnarray*}$$ et on écrit $$\begin{eqnarray*} d_{12}^s = \min\left( 1, \left\langle \frac{\sqrt{Y_{\rm eq}}-\sqrt{Y_0}}{\sqrt{Y^c_{12}}-\sqrt{Y_0}} \right\rangle_+ \right) \;. \end{eqnarray*}$$