Metafor

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====== Theory ======
==== Méthodes de réduction de modèles : rappels théoriques ====

Le système d'équations associé au modèle EF que l'on souhaite condenser est le suivant :
\begin{equation}
\label{EQ:eq_mvt}
	\mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}} + \mathbf{K} \mathbf{U} = \mathbf{F}
\end{equation}

Afin de construire un modèle réduit, l'ensemble des DDLs du modèle FEM sont décomposés en des __DDLs Retenus__ et des __DDLs Condensés__. Le système d'équation précédent s'écrit donc :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_repartition}
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{M}_{RR} & \mathbf{M}_{RC} \\
	\mathbf{M}_{CR} & \mathbf{M}_{CC}
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\ddot{\mathbf{U}}_R \\
	\ddot{\mathbf{U}}_C
	\end{array}\right)
	+
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{K}_{RR} & \mathbf{K}_{RC} \\
	\mathbf{K}_{CR} & \mathbf{K}_{CC}
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{F}_R \\
	\mathbf{0}_C
	\end{array}\right)	
\end{equation}

Un changement de base est ensuite réalisé afin de réduire la taille du système initial. Deux méthodes de réduction de modèle peuvent être formulées en fonction du changement de base effectué : la méthode de Guyan et celle de Craig-Bampton.

=== Méthode de Guyan ===

La formule du changement de base dans le cas de la méthode de Guyan est la suivante :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_chgt_base_Guyan}
	\mathbf{U}
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{I} \\
	\Psi
	\end{array}\right)
	\mathbf{U}_R
	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{U}_R	
\end{equation}
avec $\Psi = -\mathbf{K}_{CC}^{-1} \ \mathbf{K}_{CR}$, la matrice dont chaque colonne correspond à un mode statique de liaison.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Guyan :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_reduit_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{U}}_R + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{U}_R = \mathbf{F}_R
\end{equation}
avec :
\begin{equation}
    \label{EQ:M_reduite_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{EQ:K_reduite_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi
\end{equation}

=== Méthode de Craig-Bampton ===

La formule de changement de base dans le cas de la méthode de Craig-Bampton est la suivante :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_chgt_base_CB}
	\mathbf{U}
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
	\Psi & \Phi
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{Q}_R \\
	\mathbf{Q}_N
	\end{array}\right)
	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{Q}	
\end{equation}
avec $\Psi$ la matrice des modes statiques de liaison définie plus haut, et $\Phi$ la matrice dont chaque colonne correspond à un mode propre à interfaces fixes.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Craig-Bampton :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_reduit}
	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{Q}} + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{Q} = \widetilde{\mathbf{F}}
\end{equation}
avec :
\begin{equation}
	\label{EQ:M_reduite_CB_a}
	\widetilde{\mathbf{M}}
	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha}
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} \\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{NR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{NN}
	\end{array}\right)
        \ \text{avec} \ 
	\left\{\begin{array}{l}
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RN} = \widetilde{\mathbf{M}}^t_{NR} = \mathbf{M}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi\\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi
	\end{array}\right.
\end{equation}

\begin{equation}
	\label{EQ:K_reduite_CB_a}
	\widetilde{\mathbf{K}}
	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha}
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \\
	\mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{K}}_{NN}
	\end{array}\right)
	\ \text{avec} \ 
	\left\{\begin{array}{l}
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi\\
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} = \mathbf{K}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \rightarrow \text{Terme non nul !!}\\
	\widetilde{\mathbf{K}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi
	\end{array}\right.
\end{equation}

<note important>La théorie étant basée sur l'hypothèse que $\mathbf{K}$ est symétrique, le terme $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$ était nul. Dans Metafor, la matrice $\mathbf{K}$ n'est pas symétrique par défaut, pour plusieurs raisons, et donc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \neq 0$ !!</note>