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-==== Création du super-élément à vitesse non nulle ====
+====== Theory ======
+==== Méthodes de réduction de modèles : rappels théoriques ====
-La création proprement dite du SE, dans l'état précontraint, se décompose en plusieurs étapes :
+Le système d'équations associé au modèle EF que l'on souhaite condenser est le suivant :
-    * Création de l'interaction ''Guyan/CraigBamptonSuperElementInteraction'' n°<no>, qui ne sera pas ajoutée à l'interactionSet du domain.
+\begin{equation}
-    * Définition du nb de modes propres à interfaces fixes (Craig-Bampton) -> ''setNumberOfEigenValues''
+\label{EQ:eq_mvt}
-    * Association du domaine FEM à l'interaction créée -> ''setDomain''.
+	\mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}} + \mathbf{K} \mathbf{U} = \mathbf{F}
-    * Fixation de ''superElemBuiltFlag'' à ''False'' -> ''setSuperElemBuiltFlag''
+\end{equation}
-    * Association de toutes les interactions qui définissent le futur SE à l'interaction ''Guyan/CraigBamptonSuperElementInteraction''. Le but est de calculer correctement les différents blocs des matrices k et m du modèle FEM, sur lesquelles le calcul des matrices réduites K et M est basé -> ''addInteraction'' puis ''setSuperElementNodes''
-<note>Les matrices k et m du modèle FEM, à partir desquelles les matrices réduites vont être construites, prennent en compte le raidissement centrifuge du à la mise en rotation préalable du modèle FEM.</note>
+Afin de construire un modèle réduit, l'ensemble des DDLs du modèle FEM sont décomposés en des __DDLs Retenus__ et des __DDLs Condensés__. Le système d'équation précédent s'écrit donc :
+\begin{equation}
+	\label{EQ:eq_mvt_repartition}
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\mathbf{M}_{RR} & \mathbf{M}_{RC} \\
+	\mathbf{M}_{CR} & \mathbf{M}_{CC}
+	\end{array}\right)
+	\left(\begin{array}{c}
+	\ddot{\mathbf{U}}_R \\
+	\ddot{\mathbf{U}}_C
+	\end{array}\right)
+	+
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\mathbf{K}_{RR} & \mathbf{K}_{RC} \\
+	\mathbf{K}_{CR} & \mathbf{K}_{CC}
+	\end{array}\right)
+	\left(\begin{array}{c}
+	\mathbf{U}_R \\
+	\mathbf{U}_C
+	\end{array}\right)
+	=
+	\left(\begin{array}{c}
+	\mathbf{F}_R \\
+	\mathbf{0}_C
+	\end{array}\right)
+\end{equation}
-    * Détermination des nœuds **Retenus** -> ''setRetainedNodes''
+Un changement de base est ensuite réalisé afin de réduire la taille du système initial. Deux méthodes de réduction de modèle peuvent être formulées en fonction du changement de base effectué : la méthode de Guyan et celle de Craig-Bampton.
-    * Création du fichier de sauvegarde ''superElement<no>.py'' qui sera exécuté lors de l'importation du super-élément -> ''createPyFileForSuperElemUse'' \\ => Le n°<no> est le UserNo de l'interaction "super-élément" qui sera créée au moment de l'utilisation du SE ; à chaque n°<no> correspond 1 super-élément.
-    * Sauvegarde des groupes de noeuds RETENUS dans le fichier ''superElement<no>.py'' -> ''groupsNodesToSave''
+=== Méthode de Guyan ===
-    * Création de l'objet ''Guyan/CraigBamptonSuperElement'' -> ''generateElements()''
-    * Calcul des matrices réduites et sauvegarde du super-élément -> ''computeSuperElement()''
+La formule du changement de base dans le cas de la méthode de Guyan est la suivante :
-    * Mise à jour des flags ''belongingToSuperElem'' à ''false'' dans le cas où un autre super-élément est construit dans le même calcul -> ''clearSuperElementNodes()''
+\begin{equation}
-    * Sauvegarde des valeurs des modes statiques de liaison et des modes propres à interfaces fixes (Craig-Bampton) des DDLs Condensés dans le fichier ''superElement<no>.py'' -> lancée via la construction des ''Guyan/CraigBamptonSuperElementValueExtractor'' => **Doit être fait après computeSuperElement()** car le super-élément créé doit avoir été ajouté à l'elementSet de l'interaction.
+	\label{EQ:eq_chgt_base_Guyan}
+	\mathbf{U}
+	=
+	\left(\begin{array}{c}
+	\mathbf{U}_R \\
+	\mathbf{U}_C
+	\end{array}\right)
+	=
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\mathbf{I} \\
+	\Psi
+	\end{array}\right)
+	\mathbf{U}_R
+	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{U}_R
+\end{equation}
+avec $\Psi = -\mathbf{K}_{CC}^{-1} \ \mathbf{K}_{CR}$, la matrice dont chaque colonne correspond à un mode statique de liaison.
+En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Guyan :
+\begin{equation}
+	\label{EQ:eq_mvt_reduit_Guyan}
+	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{U}}_R + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{U}_R = \mathbf{F}_R
+\end{equation}
+avec :
+\begin{equation}
+    \label{EQ:M_reduite_Guyan}
+	\widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{EQ:K_reduite_Guyan}
+	\widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi
+\end{equation}
+=== Méthode de Craig-Bampton ===
+La formule de changement de base dans le cas de la méthode de Craig-Bampton est la suivante :
+\begin{equation}
+	\label{EQ:eq_chgt_base_CB}
+	\mathbf{U}
+	=
+	\left(\begin{array}{c}
+	\mathbf{U}_R \\
+	\mathbf{U}_C
+	\end{array}\right)
+	=
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
+	\Psi & \Phi
+	\end{array}\right)
+	\left(\begin{array}{c}
+	\mathbf{Q}_R \\
+	\mathbf{Q}_N
+	\end{array}\right)
+	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{Q}
+\end{equation}
+avec $\Psi$ la matrice des modes statiques de liaison définie plus haut, et $\Phi$ la matrice dont chaque colonne correspond à un mode propre à interfaces fixes.
+En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Craig-Bampton :
+\begin{equation}
+	\label{EQ:eq_mvt_reduit}
+	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{Q}} + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{Q} = \widetilde{\mathbf{F}}
+\end{equation}
+avec :
+\begin{equation}
+	\label{EQ:M_reduite_CB_a}
+	\widetilde{\mathbf{M}}
+	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha}
+	=
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} \\
+	\widetilde{\mathbf{M}}_{NR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{NN}
+	\end{array}\right)
+        \ \text{avec} \
+	\left\{\begin{array}{l}
+	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \\
+	\widetilde{\mathbf{M}}_{RN} = \widetilde{\mathbf{M}}^t_{NR} = \mathbf{M}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi\\
+	\widetilde{\mathbf{M}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi
+	\end{array}\right.
+\end{equation}
+\begin{equation}
+	\label{EQ:K_reduite_CB_a}
+	\widetilde{\mathbf{K}}
+	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha}
+	=
+	\left(\begin{array}{cc}
+	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \\
+	\mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{K}}_{NN}
+	\end{array}\right)
+	\ \text{avec} \
+	\left\{\begin{array}{l}
+	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi\\
+	\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} = \mathbf{K}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \rightarrow \text{Terme non nul !!}\\
+	\widetilde{\mathbf{K}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi
+	\end{array}\right.
+\end{equation}
+<note important>La théorie étant basée sur l'hypothèse que $\mathbf{K}$ est symétrique, le terme $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$ était nul. Dans Metafor, la matrice $\mathbf{K}$ n'est pas symétrique par défaut, pour plusieurs raisons, et donc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \neq 0$ !!</note>
-Exemple dans le cas Craig-Bampton :
-<code>
-SEInteraction = CraigBamptonSuperElementInteraction(1) # Création de la SuperElementInteraction\\
-SEInteraction.setDomain(domain)\\
-SEInteraction.setNumberOfEigenValues(self.nbOfNormalModes)\\
-SEInteraction.setSuperElemBuiltFlag(False) # False = Création du SE + sauvegarde\\
-for inter in interactionsList:\\
-    SEInteraction.addInteraction(inter)    # Ajout des interactions associées au futur SE\\
-SEInteraction.setSuperElementNodes()       # Identification de tous les noeuds associés aux interactions ajoutées via addInteraction (flag "belongingToSuperElem")\\
-SEInteraction.setRetainedNodes(retainedNodesGp) # Détermination des noeuds retenus (flag "belongingToSuperElem" = true / "fixed" = true)\\
-SEInteraction.setSymmetrizeK(symmetrizeK)\\
-if solver:\\
-    SEInteraction.setSolver(solver)\\
-createPyFileAndSaveGroups(1, groupList)\\
-SEInteraction.generateElements()       # génération du super-élément\\
-SEInteraction.computeSuperElement()    # calcul des matrices réduites + sauvegarde du super-élément\\
-SEInteraction.clearSuperElementNodes()\\
-</code>