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ULiege - Aerospace & Mechanical Engineering

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doc:user:elements:superelements:start [2016/06/29 18:49] hennuyerdoc:user:elements:superelements:start [2016/10/18 18:52] (current) papeleux
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-====== General Points ======+====== Theory ====== 
 +==== Méthodes de réduction de modèles : rappels théoriques ==== 
 + 
 +Le système d'équations associé au modèle EF que l'on souhaite condenser est le suivant : 
 +\begin{equation} 
 +\label{EQ:eq_mvt} 
 + \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}} + \mathbf{K} \mathbf{U} = \mathbf{F} 
 +\end{equation} 
 + 
 +Afin de construire un modèle réduit, l'ensemble des DDLs du modèle FEM sont décomposés en des __DDLs Retenus__ et des __DDLs Condensés__. Le système d'équation précédent s'écrit donc : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:eq_mvt_repartition} 
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \mathbf{M}_{RR} & \mathbf{M}_{RC} \\ 
 + \mathbf{M}_{CR} & \mathbf{M}_{CC} 
 + \end{array}\right) 
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \ddot{\mathbf{U}}_R \\ 
 + \ddot{\mathbf{U}}_C 
 + \end{array}\right) 
 +
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \mathbf{K}_{RR} & \mathbf{K}_{RC} \\ 
 + \mathbf{K}_{CR} & \mathbf{K}_{CC} 
 + \end{array}\right) 
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \mathbf{U}_R \\ 
 + \mathbf{U}_C 
 + \end{array}\right) 
 +
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \mathbf{F}_R \\ 
 + \mathbf{0}_C 
 + \end{array}\right)  
 +\end{equation} 
 + 
 +Un changement de base est ensuite réalisé afin de réduire la taille du système initial. Deux méthodes de réduction de modèle peuvent être formulées en fonction du changement de base effectué : la méthode de Guyan et celle de Craig-Bampton. 
 + 
 +=== Méthode de Guyan === 
 + 
 +La formule du changement de base dans le cas de la méthode de Guyan est la suivante : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:eq_chgt_base_Guyan} 
 + \mathbf{U} 
 +
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \mathbf{U}_R \\ 
 + \mathbf{U}_C 
 + \end{array}\right) 
 +
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \mathbf{I} \\ 
 + \Psi 
 + \end{array}\right) 
 + \mathbf{U}_R 
 + = \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{U}_R  
 +\end{equation} 
 +avec $\Psi = -\mathbf{K}_{CC}^{-1} \ \mathbf{K}_{CR}$, la matrice dont chaque colonne correspond à un mode statique de liaison. 
 + 
 +En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Guyan : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:eq_mvt_reduit_Guyan} 
 + \widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{U}}_R + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{U}_R = \mathbf{F}_R 
 +\end{equation} 
 +avec : 
 +\begin{equation} 
 +    \label{EQ:M_reduite_Guyan} 
 + \widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi 
 +\end{equation} 
 +\begin{equation} 
 +    \label{EQ:K_reduite_Guyan} 
 + \widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi 
 +\end{equation} 
 + 
 +=== Méthode de Craig-Bampton === 
 + 
 +La formule de changement de base dans le cas de la méthode de Craig-Bampton est la suivante : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:eq_chgt_base_CB} 
 + \mathbf{U} 
 +
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \mathbf{U}_R \\ 
 + \mathbf{U}_C 
 + \end{array}\right) 
 +
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ 
 + \Psi & \Phi 
 + \end{array}\right) 
 + \left(\begin{array}{c} 
 + \mathbf{Q}_R \\ 
 + \mathbf{Q}_N 
 + \end{array}\right) 
 + = \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{Q}  
 +\end{equation} 
 +avec $\Psi$ la matrice des modes statiques de liaison définie plus haut, et $\Phi$ la matrice dont chaque colonne correspond à un mode propre à interfaces fixes. 
 + 
 +En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Craig-Bampton : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:eq_mvt_reduit} 
 + \widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{Q}} + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{Q} = \widetilde{\mathbf{F}} 
 +\end{equation} 
 +avec : 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:M_reduite_CB_a} 
 + \widetilde{\mathbf{M}} 
 + = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} 
 +
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \widetilde{\mathbf{M}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} \\ 
 + \widetilde{\mathbf{M}}_{NR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{NN} 
 + \end{array}\right) 
 +        \ \text{avec} \  
 + \left\{\begin{array}{l} 
 + \widetilde{\mathbf{M}}_{RR} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \\ 
 + \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} = \widetilde{\mathbf{M}}^t_{NR} = \mathbf{M}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi\\ 
 + \widetilde{\mathbf{M}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi 
 + \end{array}\right. 
 +\end{equation} 
 + 
 +\begin{equation} 
 + \label{EQ:K_reduite_CB_a} 
 + \widetilde{\mathbf{K}} 
 + = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} 
 +
 + \left(\begin{array}{cc} 
 + \widetilde{\mathbf{K}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \\ 
 + \mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{K}}_{NN} 
 + \end{array}\right) 
 + \ \text{avec} \  
 + \left\{\begin{array}{l} 
 + \widetilde{\mathbf{K}}_{RR} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi\\ 
 + \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} = \mathbf{K}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \rightarrow \text{Terme non nul !!}\\ 
 + \widetilde{\mathbf{K}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi 
 + \end{array}\right. 
 +\end{equation} 
 + 
 +<note important>La théorie étant basée sur l'hypothèse que $\mathbf{K}$ est symétrique, le terme $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$ était nul. Dans Metafor, la matrice $\mathbf{K}$ n'est pas symétrique par défaut, pour plusieurs raisons, et donc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \neq 0$ !!</note> 
doc/user/elements/superelements/start.1467218944.txt.gz · Last modified: 2016/06/29 18:49 by hennuyer

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