Theory

Le système d'équations associé au modèle EF que l'on souhaite condenser est le suivant : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_mvt} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}} + \mathbf{K} \mathbf{U} = \mathbf{F} \end{equation}$$

Afin de construire un modèle réduit, l'ensemble des DDLs du modèle FEM sont décomposés en des DDLs Retenus et des DDLs Condensés. Le système d'équation précédent s'écrit donc : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_mvt_repartition} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{M}_{RR} & \mathbf{M}_{RC} \\ \mathbf{M}_{CR} & \mathbf{M}_{CC} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \ddot{\mathbf{U}}_R \\ \ddot{\mathbf{U}}_C \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} \mathbf{K}_{RR} & \mathbf{K}_{RC} \\ \mathbf{K}_{CR} & \mathbf{K}_{CC} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \mathbf{U}_R \\ \mathbf{U}_C \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \mathbf{F}_R \\ \mathbf{0}_C \end{array}\right) \end{equation}$$

Un changement de base est ensuite réalisé afin de réduire la taille du système initial. Deux méthodes de réduction de modèle peuvent être formulées en fonction du changement de base effectué : la méthode de Guyan et celle de Craig-Bampton.

La formule du changement de base dans le cas de la méthode de Guyan est la suivante : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_chgt_base_Guyan} \mathbf{U} = \left(\begin{array}{c} \mathbf{U}_R \\ \mathbf{U}_C \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I} \\ \Psi \end{array}\right) \mathbf{U}_R = \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{U}_R \end{equation}$$ avec $\Psi = -\mathbf{K}_{CC}^{-1} \ \mathbf{K}_{CR}$, la matrice dont chaque colonne correspond à un mode statique de liaison.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Guyan : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_mvt_reduit_Guyan} \widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{U}}_R + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{U}_R = \mathbf{F}_R \end{equation}$$ avec : $$\begin{equation} \label{EQ:M_reduite_Guyan} \widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{EQ:K_reduite_Guyan} \widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi \end{equation}$$

La formule de changement de base dans le cas de la méthode de Craig-Bampton est la suivante : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_chgt_base_CB} \mathbf{U} = \left(\begin{array}{c} \mathbf{U}_R \\ \mathbf{U}_C \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \Psi & \Phi \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \mathbf{Q}_R \\ \mathbf{Q}_N \end{array}\right) = \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{Q} \end{equation}$$ avec $\Psi$ la matrice des modes statiques de liaison définie plus haut, et $\Phi$ la matrice dont chaque colonne correspond à un mode propre à interfaces fixes.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Craig-Bampton : $$\begin{equation} \label{EQ:eq_mvt_reduit} \widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{Q}} + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{Q} = \widetilde{\mathbf{F}} \end{equation}$$ avec : $$\begin{equation} \label{EQ:M_reduite_CB_a} \widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \left(\begin{array}{cc} \widetilde{\mathbf{M}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} \\ \widetilde{\mathbf{M}}_{NR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{NN} \end{array}\right) \ \text{avec} \ \left\{\begin{array}{l} \widetilde{\mathbf{M}}_{RR} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \\ \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} = \widetilde{\mathbf{M}}^t_{NR} = \mathbf{M}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi\\ \widetilde{\mathbf{M}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi \end{array}\right. \end{equation}$$

$$\begin{equation} \label{EQ:K_reduite_CB_a} \widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \left(\begin{array}{cc} \widetilde{\mathbf{K}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \\ \mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{K}}_{NN} \end{array}\right) \ \text{avec} \ \left\{\begin{array}{l} \widetilde{\mathbf{K}}_{RR} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi\\ \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} = \mathbf{K}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \rightarrow \text{Terme non nul !!}\\ \widetilde{\mathbf{K}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \end{array}\right. \end{equation}$$