===== Commit 2016-06-23 =====

  * Prise en compte de la non-symétrie de la matrice de rigidité du modèle FEM dans la construction des matrices réduites des super-éléments de Guyan et de Craig-Bampton.
  * Petites modifications dans la création des fichiers de sauvegarde des super-éléments


===== Correction des matrices réduites : prise en compte de la non-symétrie du système =====

Dans Metafor, la matrice de rigidité du système n'est pas symétrique par défaut. En effet, certains termes ajoutés à la matrice la rendent non-symétrique, comme par exemple si on utilise des d'éléments EAS, lors d'un contact, lorsque les forces de Coriolis sont prises en compte, etc.

Etant donné que la théorie sur les super-éléments suppose toujours que la matrice de rigidité du système que l'on veut condenser est symétrique, certaines simplifications sont faites.

==== Méthodes de réduction de modèles : rappels théoriques ====

Le système d'équations associé au modèle EF que l'on souhaite condenser est le suivant :
\begin{equation}
\label{EQ:eq_mvt}
	\mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}} + \mathbf{K} \mathbf{U} = \mathbf{F}
\end{equation}

Afin de construire un modèle réduit, l'ensemble des DDLs du modèle FEM sont décomposés en des __DDLs Retenus__ et des __DDLs Condensés__. Le système d'équation précédent s'écrit donc :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_repartition}
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{M}_{RR} & \mathbf{M}_{RC} \\
	\mathbf{M}_{CR} & \mathbf{M}_{CC}
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\ddot{\mathbf{U}}_R \\
	\ddot{\mathbf{U}}_C
	\end{array}\right)
	+
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{K}_{RR} & \mathbf{K}_{RC} \\
	\mathbf{K}_{CR} & \mathbf{K}_{CC}
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{F}_R \\
	\mathbf{0}_C
	\end{array}\right)	
\end{equation}

Un changement de base est ensuite réalisé afin de réduire la taille du système initial. Deux méthodes de réduction de modèle peuvent être formulées en fonction du changement de base effectué : la méthode de Guyan et celle de Craig-Bampton.

=== Méthode de Guyan ===

La formule du changement de base dans le cas de la méthode de Guyan est la suivante :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_chgt_base_Guyan}
	\mathbf{U}
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{I} \\
	\Psi
	\end{array}\right)
	\mathbf{U}_R
	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{U}_R	
\end{equation}
avec $\Psi = -\mathbf{K}_{CC}^{-1} \ \mathbf{K}_{CR}$, la matrice dont chaque colonne correspond à un mode statique de liaison.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Guyan :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_reduit_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{U}}_R + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{U}_R = \mathbf{F}_R
\end{equation}
avec :
\begin{equation}
    \label{EQ:M_reduite_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{EQ:K_reduite_Guyan}
	\widetilde{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi
\end{equation}

=== Méthode de Craig-Bampton ===

La formule de changement de base dans le cas de la méthode de Craig-Bampton est la suivante :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_chgt_base_CB}
	\mathbf{U}
	=
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{U}_R \\
	\mathbf{U}_C
	\end{array}\right)
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
	\Psi & \Phi
	\end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
	\mathbf{Q}_R \\
	\mathbf{Q}_N
	\end{array}\right)
	= \boldsymbol{\alpha} \ \mathbf{Q}	
\end{equation}
avec $\Psi$ la matrice des modes statiques de liaison définie plus haut, et $\Phi$ la matrice dont chaque colonne correspond à un mode propre à interfaces fixes.

En introduisant ce changement de base dans le système original, on obtient le système réduit de Craig-Bampton :
\begin{equation}
	\label{EQ:eq_mvt_reduit}
	\widetilde{\mathbf{M}} \ddot{\mathbf{Q}} + \widetilde{\mathbf{K}} \mathbf{Q} = \widetilde{\mathbf{F}}
\end{equation}
avec :
\begin{equation}
	\label{EQ:M_reduite_CB_a}
	\widetilde{\mathbf{M}}
	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{M} \ \boldsymbol{\alpha}
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{RN} \\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{NR} & \widetilde{\mathbf{M}}_{NN}
	\end{array}\right)
        \ \text{avec} \ 
	\left\{\begin{array}{l}
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RR} = \mathbf{M}_{RR} + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CR} + \mathbf{M}_{RC} \ \Psi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Psi \\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{RN} = \widetilde{\mathbf{M}}^t_{NR} = \mathbf{M}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi\\
	\widetilde{\mathbf{M}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{M}_{CC} \ \Phi
	\end{array}\right.
\end{equation}

\begin{equation}
	\label{EQ:K_reduite_CB_a}
	\widetilde{\mathbf{K}}
	= \boldsymbol{\alpha}^t \ \mathbf{K} \ \boldsymbol{\alpha}
	=
	\left(\begin{array}{cc}
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} & \widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \\
	\mathbf{0} & \widetilde{\mathbf{K}}_{NN}
	\end{array}\right)
	\ \text{avec} \ 
	\left\{\begin{array}{l}
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RR} = \mathbf{K}_{RR} + \mathbf{K}_{RC} \ \Psi\\
	\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} = \mathbf{K}_{RC} \ \Phi + \Psi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi \rightarrow \text{Terme non nul !!}\\
	\widetilde{\mathbf{K}}_{NN} = \Phi^t \ \mathbf{K}_{CC} \ \Phi
	\end{array}\right.
\end{equation}

<note important>La théorie étant basée sur l'hypothèse que $\mathbf{K}$ est symétrique, le terme $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$ était nul. Dans Metafor, la matrice $\mathbf{K}$ n'est pas symétrique par défaut, pour plusieurs raisons, et donc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN} \neq 0$ !!</note>

==== Corrections apportées dans mtSuperElement ====

=== MechanicalMatrices.h/.cpp ===
  * Définition des blocs matrices utiles uniquement (certaines étaient définies et pas utilisées, et la matrice $\mathbf{K}_{RC}$ dont on a besoin n'était pas définie) :
    * Seul le bloc $NL/NL$ est utilisé lors d'une analyse fréquentielle classique ;
    * Seuls les blocs $BL/BL$, $BL/BF$, $BF/BL$, $BF/BF$ sont utilisés pour la construction d'un super-élément.

{{ :commit:futur:blocsnouvellepartition.png?nolink&600 |}}

  * Réécriture du destructeur de la classe en conséquence

  * Suppression de certaines fonctions inutiles, comme par exemple ''updateBelongingFreeBelongingFreeTangStiffMatrix()''.

  * Suppression de fonctions telles que ''fillConstrainedConstrainedMatrices()'' ou ''getConstrainedConstrainedMassMatrix()'', par exemple, qui ne sont appelées que lors de la création d'un super-élément et qui sont donc directement remplacées par les fonctions spécifiques correspondantes ''fillBelongingConstrainedBelongingConstrainedMatrices()'' et ''getBelongingConstrainedBelongingConstrainedMassMatrix()''.

=== GuyanSuperElement.cpp ===

  * Modification des noms de fonctions suite aux modifications faites dans ''MechanicalMatrices''.

  * Ajout du calcul des blocs $\mathbf{M}_{RC}$ et $\mathbf{K}_{RC}$ via la fonction ''fillBelongingConstrainedBelongingFreeMatrices()''.

  * Modification du calcul du vecteur ''kRCPsiI'' : ''kRCPsiI = kRC*(*psiI)'' au lieu de ''kRCPsiI = kCR.computeTransposeProduct(*psiI)'' qui supposait que ''kRC = kCR^t'', i.e. que ''k'' était symétrique.

=== CraigBamptonSuperElement.cpp ===

  * Modification des noms de fonctions suite aux modifications faites dans ''MechanicalMatrices''.

  * Ajout du calcul des blocs $\mathbf{M}_{RC}$ et $\mathbf{K}_{RC}$ via la fonction ''fillBelongingConstrainedBelongingFreeMatrices()''.

  * Modification du calcul du vecteur ''kRCPsiI'' : ''kRCPsiI = kRC*(*psiI)'' au lieu de ''kRCPsiI = kCR.computeTransposeProduct(*psiI)'' qui supposait que ''kRC = kCR^t'', i.e. que ''k'' était symétrique.

  * Ajout du calcul du bloc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$ dans la fonction ''execute()'', via le calcul du vecteur ''kRCPhiI'' notamment.

  * Modification de la fonction ''structToElem()'' qui remplit la variable ''superElemStiffMatrix'' suite à l'ajout du bloc $\widetilde{\mathbf{K}}_{RN}$.
===== Fichiers de sauvegarde des super-éléments =====

  * Modification de la fonction python ''createPyFileForSuperElemUse'' dans les fichiers suivants :
<code>
\oo_meta\mtSuperElement\tests\tools\utilities.py
\oo_nda\abrawal\banc18ER\tools\utilities.py
</code>

L'index est maintenant défini comme un argument dans le constructeur de la classe ''SuperElementBaconImporter'', ce qui est moins dangereux. Par conséquent, le constructeur a été modifié et la fonction ''setIndex()'' a été supprimmée.

  * Modification de l'écriture des fichiers de sauvegarde concernant le type de super-élément 2D ou 3D. Le type étant connu au moment où on crée le fichier de sauvegarde, la fonction ''saveRetainedNodes()'' du fichier ''SuperElement.cpp'' a été modifiée. 

  * Par conséquent, modification des cas-tests de ''mtSuperElement''.






===== Fichiers pour cas-tests renommés/supprimés =====
<code>
Renamed: mtSuperElement\tests\tools\Beam.py -> beamBuilder.py
Renamed: mtSuperElement\tests\tools\toolsVE.py -> valueExtractors.py

Deleted: mtSuperElement\tests\tools\superElement.py
Deleted: mtSuperElement\tests\tools\superElementNew.py
Deleted: abrawal\banc18ER\tools\superElements18ER.py

</code>

===== Nouveaux cas-tests =====

Des nouveaux cas-tests suivront...

 --- //[[claire.hennuyer@ulg.ac.be|Claire Hennuyer]] 2016/06/23//